Analyse démonstration

[invite2c7e2526]

Bonsoir,
je n'arrive pas à démontrer cette implication, pourriez-vous m'aider svp ?
(pour tout epsilon >0, 0< = x < epsilon) ==> x=0

Voici ce que j'ai pu faire:
on suppose par l'absurde que
pour tout epsilon>0 et 0< = x<epsilon et x =/= 0

x=/=0 <==> x<0 ou x>0
si x>0 on a: pour tout epsilon>0: epsilon>x>0
x<0 contredit l'hypothèse du départ: 0< = x d'où x=0
Qu'en pensez vous ? Je n'en suis pas sûr de ma réponse, est-t-elle correcte ?
Je vous remercie d'avance pour votre réponse
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[gg0]

Désolé,

mais je n'ai pas compris où était la contradiction dans le cas x>0

Avec et dans tes hypothèses, tu as tout de suite x>0. Il te faut trouver une contradiction avec :

Ce n'est pas trop difficile, pouvant dépendre de x et x étant >0.

Cordialement

[invite2c7e2526]

Merci pour votre réponse,
dans le cas où x>0 je n'ai pas trouvé de contradiction, par contre si x<0 contredit 0 < = x < epsilon..
J'ai suivi votre méthode, si x> = 0 et x =/=0 alors x>0 , et donc on epsilon > x > 0 ---> epsilon > 0 ce qui n'est pas absurde .. Je ne trouve pas de contradiction ici...

[invite23cdddab]

Si x > 0, alors on peut choisir epsilon = x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c7e2526]

si x>0 on peut choisir epsilon = x/2 (car on a supposé au départ que epsilon > x)
mais si x<0 on peut pas trouver epsilon, car on a supposé que x> = 0 ce qui contredit x<0

[gg0]

Bon, mettons ça au point.

A départ, on a un x fixé, pour lequel on sait que pour tout epsilon >0, 0< = x < epsilon. On en déduit, en prenant epsilon=1 (*) que x est compris entre 0 et 1, donc positif.
Supposons x non nul, donc x>0; alors x/2>0 et on déduit de l'hypothèse x<x/2 qui nous donne (calcul) x<0. Cette contradiction montre que x non nul est faux.
Donc x=0.

Voilà par exemple une présentation, bien ordonnée pour faire apparaître les hypothèses utilisées et les règle manipulées.

Cordialement.

NB : Ce n'est pas évident pour un débutant de rédiger ce type de preuve, mais il faut s'y astreindre.

(*) la propriété étant vraie pour tout epsilon strictement positif, elle est vraie pour celui-ci.

[invite2c7e2526]

J'arrive pas à vous suivre, comment vous avez déduit que x<x/2 ? Quelle hypothèse ?
Sinon, pourquoi avez-vous exhiber epsilon ? est-ce nécessaire ?

[gg0]

Ben ..."pour tout epsilon >0, 0< = x < epsilon" On n'en a pas d'autre ... Et bien évidemment, j'ai pris epsilon=x/2 comme tu le disais au message #5

Il faut évidemment se servir de l'hypothèse de l'exercice, pour le faire.

Je n'ai pas exhibé epsilon, j'ai seulement utilisé le fait que comme il est quelconque, je peux le remplacer par ce que je veux (strictement positif, évidemment).

[leon1789]

Je pense que mon intervention ne va pas plaire à tout le monde... En tout cas, je crois voire dans la discussion le problème "de compréhension" que pose un raisonnement par l'absurde plus long qu'une ligne.

(pour tout epsilon >0, 0< = x < epsilon) ==> x=0

Faisons simple : il est écrit "pour tout epsilon >0, x < epsilon", donc x est distinct de tous les nombres strictement positifs.
Or il est positif ( 0 <= x ) donc x est nul.

[gg0]

Effectivement, Léon,

tu as raison. Mais que fais tu pour le cas :
et ?
C'est d'ailleurs le plus courant.

Cordialement

[leon1789]

Je suis d'accord que je profite "assez lâchement" du strict < .
Pour avec , il faudra soit poser en supposant par l'absurde x>0 (comme indiqué dans la discussion), soit écrire "lâchement" (mais sans absurde) en posant