Preuve d'une proposition d'Analyse fonctionnelle.

[Curuxa]

Bonsoir à tous les matheux, je suis venu vous piquer les yeux!

Dans le cadre d'un cours d'introduction à l'analyse fonctionnelle, il m'est demandé de rédiger une série de preuves...Je souhaitais recueillir des avis quant à la preuve ci-jointe en pdf qui traite des opérateurs linéaires compacts en faisant intervenir un tas de petites définitions et qui est assez moche en fait...Très peu élégante et assez lourde. Donc j'aurais aimé savoir si:

1. La preuve est correcte;
2. Il n'y avait pas une façon plus simple et plus appréciable de conclure.

Merci aux courageux qui liront et à tous les autres également!
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[Tryss2]

Sinon, par contraposée :

Tu supposes T(B) non compact, donc il existe une suite y_n de T(B) sans valeur d'adhérence. Ensuite, pour chaque y_n tu choisi un x_n tel que T(x_n) = y_n et le tour est joué

[Curuxa]

C'est nettement plus sympathique ! Merci

[Curuxa]

En fait je retombe sur le même problème, si je développe un peu l'idée proposée, j'arrive à ceci:

Nous supposons T non compact, c'est-à-dire n'est pas une partie relativement compacte de sorte que n'est pas un compact de Y: il existe donc une suite dont il est impossible d'extraire une sous-suite convergente dans , sinon serait, contre nos hypothèses, s-compacte et donc compacte.
A cette suite on peut par construction associer une suite



dont il est impossible d'extraire une suite qui rende la suite image convergente.



J'ai surligné en gras le passage qui me pose problème: pour que ne soit pas compacte il faut et il suffit (espace normé) qu'elle ne soit pas séquentiellement compacte mais, qu'est-ce qui nous dit que la suite dont on ne peut pas extraire de sous-suite n'est pas une suite de : \ ?

En gros, je reformule, on pourrait (j'espère me planter là dessus) avoir la possibilité d'extraire une sous suite convergente de toute suite de mais trouver une suite sans valeur d'adhérence qui soit exclusivement composée d' éléments de \ .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Curuxa]

Cette question a-t-elle du sens à vos yeux? Car le résultat n'est pas loin...mais je ne parviens pas à contourner cette question qui demeure.

[Tryss2]

Oui, cette objection est tout à fait fondée, et assez fine pour le coup. Et je t'avouerai que j'ai un trou sur comment la contourner.

Sinon, une autre démo, en utilisant le fait que dans un espace métrique complet, précompact est équivalent à compact.

Soit e > 0. Montrons que l'on peut recouvrir T(B) par un nombre fini de boules de rayon e.

On construit une suite y_n par récurrence de la façon suivante :

1) y_0 est un point de T(B), B(y_0,e) la boule de centre y_0 et de rayon e
2) y_n est un point de T(B) privé des boules B(y_k,e) pour k<n

Une telle suite n'admet pas de sous suite convergente, en effet d(y_i,y_j) > e. Donc une telle suite n'existe pas : il existe un N tel que l'union des B(y_k,e) pour k<N recouvre T(B), ainsi T(B) est précompact

[Curuxa]

D'accord, je vois l'idée mais je ne comprends pas totalement:

Soit e > 0. Montrons que l'on peut recouvrir adhérence(T(B)) par un nombre fini de boules de rayon e.

On construit une suite y_n par récurrence de la façon suivante :

1) y_0 est un point de adhérence(T(B)), B(y_0,e) la boule de centre y_0 et de rayon e
2) y_n est un point de adhérence(T(B)) privé des boules B(y_k,e) pour k<n

Une telle suite n'admet pas de sous suite convergente, alors qu'elle contient, par construction, une suite d'élément de T(B) (pas l'adhérence), en effet d(y_i,y_j) > e. Donc une telle suite n'existe pas : il existe un N tel que l'union des B(y_k,e) pour k<N recouvre T(B), ainsi T(B) est précompact.

Correct de dire " alors qu'elle contient, par construction, une suite d'élément de T(B) (pas l'adhérence)" n'est ce pas?

Ceci dit je regarde un peu la démo de complet+précompact <=> compact, merci pour la découverte

[Curuxa]

En fait, si on enlève toute les adhérences que j'ai écrites en gras (je vois ça seulement maintenant) on peut même aboutir à T(B) est compacte? Ce qui est un résultat encore plus fort...enfin, comme dans un métrique compact <=> fermé, borné alors ça montre que T(B) est égale à son adhérence, d'accord?

[Tryss2]

Il n'y a pas besoin de passer par l'adhérence : si pour tout epsilon tu peux recouvrir T(B) par un nombre fini de boules de rayon epsilon, alors tu peux aussi recouvrir l'adhérence de T(B) par un nombre fini de boules de rayon epsilon :

Soit e>0, par hypothèse il existe un recouvrement fini de T(B) par des boules B(y_1, e/2), ... , B(y_n,e/2) de rayon e/2. Et on a que l'adhérence de T(B) est recouverte par les boules B(y_1, e), ... , B(y_n,e). En effet, soit y un point de l'adhérence de T(B), il existe un y' dans T(B) tel que d(y,y') < e/2. Et il existe un y_k tel que d(y',y_k) < e/2. Par inégalité triangulaire, on a que d(y,y_k) < e, donc y appartient à B(y_k,e)

[Curuxa]

Je te suis. Quant à ce que je disais dans mon message 8, si tu as T(B) précompacte dans un complet elle est compacte, or on est dans un métrique donc compacte ssi fermé,borné donc elle est fermée et égale à son adhérence.

En effet, ça roule comme ça du coup ! Un tout grand merci

[Tryss2]

Oula non, dans la plupart des espaces vectoriels normés, il n'y a pas équivalence entre compact et fermé borné.

Il est vrai qu'un compact est nécessairement fermé et borné, mais la réciproque est fausse en dimension infinie. Sinon tout les opérateurs linéaires continus serraient compacts ! C'est même plus que faux, dans le sens ou dans tout les espaces vectoriels normés de dimension infinie, il existe des fermés bornés qui ne sont pas compacts (la boule unité n'est jamais compacte dans ce cadre).

[Curuxa]

aaah j'avais écrit "ssi"... Ok, je ne maitrise pas bien les définitions et un manque d'attention m'a tué, mais je voulais dire, si je joue sur T(B) précompacte donc compacte donc (espace métrique) fermée donc égale à son adhérence, ça fonctionne?

[Tryss2]

Le truc, c'est que T(B) n'a à priori aucune raison d'être précompact. Relativement (pré)compact, oui. Je te rappelle qu'il faut que tu montres que T(B) est relativement compacte, pas que T(B) est compacte

[Curuxa]

Mmmh...mais l'idée, telle que je la comprends c'est montrer T(B) précompacte et le recouvrement de boules ouvertes recouvre aussi l'adhérence, de sorte que l'adhérence est aussi précompacte et comme elle est fermée dans un complet, elle est complete donc compacte et c'est gagné. Juste?

[Curuxa]

En revanche je disais encore des bétises au message 12: rien ne dit que T(B) est complete...elle est dans un Banach mais elle n'est pas fermée donc pas nécessairement complete. Par contre, vu la construction, elle est précompacte.

[Tryss2]

Mmmh...mais l'idée, telle que je la comprends c'est montrer T(B) précompacte et le recouvrement de boules ouvertes recouvre aussi l'adhérence, de sorte que l'adhérence est aussi précompacte et comme elle est fermée dans un complet, elle est complete donc compacte et c'est gagné. Juste?

Oui, c'est ça l'idée.