x + 1/x est entier

**ichigo01** · 06/01/2016, 21h57

Bonjour à tous,

Soit $\text{[math]}$ un réel tel que $\text{[math]}$ est entier. J'essaye de montrer que $\text{[math]}$ est entier pour tout entier $\text{[math]}$ .

J'ai donc essayé de trouver par récurrence :
Avec un petit calcul et un peu d'intuition, j'ai trouvé la relation suivante : $\text{[math]}$ ce qui implique que $\text{[math]}$ ne peut être qu'entier. En effet, tous les autres termes de l'équation sont entiers (hypothèse de l’énoncé plus l'hypothèse de récurrence).

Auriez-vous une autre méthode pour résoudre l'exercice ? (un indice ?)

Merci d'avance.

**RoBeRTo-BeNDeR** · 06/01/2016, 22h11

Dans l'état, votre demande ne risque de conclure que sur des "c'est impossible de répondre à votre demande" ce qui me fait donc dire: c'est impossible de répondre à votre demande.

Je ne peux pas vous aider tout simplement car il manque des informations. Comment sont définis les $\text{[math]}$ ? Comment avez vous obtenu cette relation?

**ichigo01** · 06/01/2016, 22h33

Merci pour votre réponse.

$\text{[math]}$ est défini par $\text{[math]}$ . J'ai utilisé $\text{[math]}$ juste pour une question de lisibilité. Mais apparemment j'ai introduit de l’ambiguïté.

J'ai fait la multiplication de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tout simplement : $\text{[math]}$ .

C'est plus clair maintenant ?

**Seirios** · 06/01/2016, 23h22

Bonsoir,

Une autre possibilité est de développer $\text{[math]}$ en utilisant le binôme de Newton. Cela fait apparaître une relation de récurrence permettant de conclure. Mais cette solution est plus calculatoire que celle que tu as trouvée.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 07/01/2016, 04h15

Envoyé par ichigo01

J'ai fait la multiplication de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tout simplement : $\text{[math]}$ .

Bonjour,

Réduire au même dénominateur est une perte de temps inutile, en développant on a le résultat immédiatement.

**ichigo01** · 07/01/2016, 08h08

J'essaye aussi de prouver que la propriété ne peut être vraie pour l'ensemble des entiers naturels. J'ai utilisé l'absurde :

Supposons que quelque soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est un entier naturel.

Prenons $\text{[math]}$ avec k un entier $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Or, si $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ ce terme serait négatif, ce qui est absurde.

L'objectif de ma démonstration est de corriger l'enoncé de l'exercice qui demande de prouver la propriété pour les entiers naturels

Etes-vous d'accord avec cette démonstration ?

Merci.

**ichigo01** · 07/01/2016, 08h13

Si $\text{[math]}$ est un réel quelconque bien sûr.

**gg0** · 07/01/2016, 09h39

Bonjour.

Pourquoi est-ce absurde ? Les entiers peuvent être négatifs. D'ailleurs, ton message n'est pas clair. Quel est l'énoncé précis dont tu penses qu'il est faux ?
Car tu as prouvé au début :
$\text{[math]}$
Sans condition sur x.

Cordialement.

**minushabens** · 07/01/2016, 09h56

Envoyé par ichigo01

Soit $\text{[math]}$ un réel tel que $\text{[math]}$ est entier. J'essaye de montrer que $\text{[math]}$ est entier pour tout entier $\text{[math]}$ .

remarque que si c'est vrai pour tout n>=0, c'est aussi vrai pour tout n<0

**ichigo01** · 07/01/2016, 10h49

Envoyé par gg0

Bonjour.

Pourquoi est-ce absurde ? Les entiers peuvent être négatifs. D'ailleurs, ton message n'est pas clair. Quel est l'énoncé précis dont tu penses qu'il est faux ?
Car tu as prouvé au début :
$\text{[math]}$
Sans condition sur x.

Cordialement.

Bonjour,

Oui, c'est vrai pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ mais pas pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (ce que j'essaye de prouver). Voici l'ennoncé que je pense être faux : $\text{[math]}$ .

Merci.

**Médiat** · 07/01/2016, 12h05

Bonjour,

Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?

**ichigo01** · 07/01/2016, 12h20

Envoyé par Médiat

Bonjour,

Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?

Ma question était "Etes-vous d'accord avec cette démonstration ?". Peut-être vous n'avez pas bien lu.

Envoyé par Médiat

Bonjour,

Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?

Vous êtes sérieux ? Je ne pense pas...

**Médiat** · 07/01/2016, 12h40

Oui, vous avez parfaitement raison, j'ai fait une grosse erreur : j'ai essayé de vous aider, ne vous inquiétez pas, cela ne se reproduira pas.

**ichigo01** · 07/01/2016, 12h42

Pas de problème. Merci pour votre compréhension.

**gg0** · 07/01/2016, 12h51

Ichigo,

tu n'as pas compris l'ironie de Médiat. Son message #13 est à prendre au premier degré.

La démonstration que tu as faite fonctionne parfaitement si x+1/x est seulement un entier naturel et qu'on veut prouver que x^n+1/x^n est encore un entier naturel.
Le fait qu'on puisse la généraliser au cas où ce sont des entiers relatifs ne le rend pas fausse.

Enfin, je t'incite à méditer sur l'hypothèse que tu faisais "si x est négatif" dans le cas où x+1/x est un entier naturel.

Cordialement.

**ichigo01** · 07/01/2016, 13h25

Oui, tu as raison. En fait, j'ai fait une erreur, quand j'ai pris n = 2k + 1 j'ai remplacé n dans $\text{[math]}$ mais pas dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .

Donc elle est vraie dans N et se généralise aussi pour Z.

Donc aux temps pour moi et merci.

**gg0** · 07/01/2016, 13h52

Et surtout, si x+1/x est un entier positif, c'est que x est positif : x et x+1/x ont le même signe !!!

**ichigo01** · 07/01/2016, 14h04

Oui, j'avais remarqué ça. Merci.

x + 1/x est entier

x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

Re : x + 1/x est entier

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