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x + 1/x est entier



  1. #1
    ichigo01

    x + 1/x est entier

    Bonjour à tous,

    Soit un réel tel que est entier. J'essaye de montrer que est entier pour tout entier .

    J'ai donc essayé de trouver par récurrence :
    Avec un petit calcul et un peu d'intuition, j'ai trouvé la relation suivante : ce qui implique que ne peut être qu'entier. En effet, tous les autres termes de l'équation sont entiers (hypothèse de l’énoncé plus l'hypothèse de récurrence).

    Auriez-vous une autre méthode pour résoudre l'exercice ? (un indice ?)

    Merci d'avance.

    -----

    Dernière modification par obi76 ; 07/01/2016 à 14h11.

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  3. #2
    RoBeRTo-BeNDeR

    Re : x + 1/x est entier

    Dans l'état, votre demande ne risque de conclure que sur des "c'est impossible de répondre à votre demande" ce qui me fait donc dire: c'est impossible de répondre à votre demande.

    Je ne peux pas vous aider tout simplement car il manque des informations. Comment sont définis les ? Comment avez vous obtenu cette relation?

  4. #3
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Merci pour votre réponse.

    est défini par . J'ai utilisé juste pour une question de lisibilité. Mais apparemment j'ai introduit de l’ambiguïté.

    J'ai fait la multiplication de et tout simplement : .

    C'est plus clair maintenant ?
    Dernière modification par ichigo01 ; 06/01/2016 à 22h36.

  5. #4
    Seirios

    Re : x + 1/x est entier

    Bonsoir,

    Une autre possibilité est de développer en utilisant le binôme de Newton. Cela fait apparaître une relation de récurrence permettant de conclure. Mais cette solution est plus calculatoire que celle que tu as trouvée.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    Médiat

    Re : x + 1/x est entier

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message

    J'ai fait la multiplication de et tout simplement : .
    Bonjour,

    Réduire au même dénominateur est une perte de temps inutile, en développant on a le résultat immédiatement.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    J'essaye aussi de prouver que la propriété ne peut être vraie pour l'ensemble des entiers naturels. J'ai utilisé l'absurde :

    Supposons que quelque soit , est un entier naturel.

    Prenons avec k un entier : . Or, si est ce terme serait négatif, ce qui est absurde.

    L'objectif de ma démonstration est de corriger l'enoncé de l'exercice qui demande de prouver la propriété pour les entiers naturels

    Etes-vous d'accord avec cette démonstration ?

    Merci.

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  10. #7
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Si est un réel quelconque bien sûr.

  11. #8
    gg0

    Re : x + 1/x est entier

    Bonjour.

    Pourquoi est-ce absurde ? Les entiers peuvent être négatifs. D'ailleurs, ton message n'est pas clair. Quel est l'énoncé précis dont tu penses qu'il est faux ?
    Car tu as prouvé au début :

    Sans condition sur x.

    Cordialement.

  12. #9
    minushabens

    Re : x + 1/x est entier

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    Soit un réel tel que est entier. J'essaye de montrer que est entier pour tout entier .
    remarque que si c'est vrai pour tout n>=0, c'est aussi vrai pour tout n<0

  13. #10
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Pourquoi est-ce absurde ? Les entiers peuvent être négatifs. D'ailleurs, ton message n'est pas clair. Quel est l'énoncé précis dont tu penses qu'il est faux ?
    Car tu as prouvé au début :

    Sans condition sur x.

    Cordialement.
    Bonjour,

    Oui, c'est vrai pour et mais pas pour et (ce que j'essaye de prouver). Voici l'ennoncé que je pense être faux : .

    Merci.
    Dernière modification par ichigo01 ; 07/01/2016 à 10h51.

  14. #11
    Médiat

    Re : x + 1/x est entier

    Bonjour,

    Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

    Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

    Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?
    Ma question était "Etes-vous d'accord avec cette démonstration ?". Peut-être vous n'avez pas bien lu.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Bonjour,

    Ne l'auriez-vous pas démontré au message #3 ?

    Peut-être ne comprenez-vous pas exactement la signification des quantificateurs et surtout de l'implication ?
    Vous êtes sérieux ? Je ne pense pas...

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  17. #13
    Médiat

    Re : x + 1/x est entier

    Oui, vous avez parfaitement raison, j'ai fait une grosse erreur : j'ai essayé de vous aider, ne vous inquiétez pas, cela ne se reproduira pas.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Pas de problème. Merci pour votre compréhension.

  19. #15
    gg0

    Re : x + 1/x est entier

    Ichigo,

    tu n'as pas compris l'ironie de Médiat. Son message #13 est à prendre au premier degré.

    La démonstration que tu as faite fonctionne parfaitement si x+1/x est seulement un entier naturel et qu'on veut prouver que x^n+1/x^n est encore un entier naturel.
    Le fait qu'on puisse la généraliser au cas où ce sont des entiers relatifs ne le rend pas fausse.

    Enfin, je t'incite à méditer sur l'hypothèse que tu faisais "si x est négatif" dans le cas où x+1/x est un entier naturel.

    Cordialement.

  20. #16
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Oui, tu as raison. En fait, j'ai fait une erreur, quand j'ai pris n = 2k + 1 j'ai remplacé n dans mais pas dans , , et .

    Donc elle est vraie dans N et se généralise aussi pour Z.

    Donc aux temps pour moi et merci.
    Dernière modification par ichigo01 ; 07/01/2016 à 13h27.

  21. #17
    gg0

    Re : x + 1/x est entier

    Et surtout, si x+1/x est un entier positif, c'est que x est positif : x et x+1/x ont le même signe !!!

  22. #18
    ichigo01

    Re : x + 1/x est entier

    Oui, j'avais remarqué ça. Merci.

  23. Publicité

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