Mesure de Lebesgue sur la droite

[Deedee81]

Salut,

J'ai lu qu'il n'existe pas de mesure de Lebesgue s'étendant à l'ensemble des parties de X où X est une droite de .

C'était juste cité comme anecdote dans un article sur la mesure que j'ai lu. Mais ça m'intrigue.

Vous savez comment est-ce qu'on démontre une telle chose ?

Merci,
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[Deedee81]

J'ai trouvé un (contre-)exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Vitali
ce qui répond à la question.

[gg0]

Bonjour.

sans axiome du choix, difficile de trouver des ensembles qui ne soient pas Lebesgue-mesurables. ce qui fait que certains ont au contraire proposé de prendre comme axiome : Tout sous-ensemble de R est mesurable.
Opérationnellement, c'est efficace : Il n'y a plus à prouver à chaque fois la mesurabilité. Mais on fait trop de choses déjà avec l'axiome du choix pour accepter de le renier pour une simple raison d'efficacité pratique.

Cordialement.

[Deedee81]

sans axiome du choix, difficile de trouver des ensembles qui ne soient pas Lebesgue-mesurables. ce qui fait que certains ont au contraire proposé de prendre comme axiome : Tout sous-ensemble de R est mesurable.
Opérationnellement, c'est efficace : Il n'y a plus à prouver à chaque fois la mesurabilité. Mais on fait trop de choses déjà avec l'axiome du choix pour accepter de le renier pour une simple raison d'efficacité pratique.

Je suis d'accord. De toute façon, ma façon de voir (personnelle) c'est que "faut-il adopter l'axiome du choix" est une question plutôt creuse : c'est juste une question de.... choix. On choisi les axiomes qu'on veut avec des critères basé sur l'utilisé, l'aspect pratique,.... comme le critère que tu donne.

[A voir en vidéo sur Futura]