Mesure de Lebesgue sur la droite
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Mesure de Lebesgue sur la droite



  1. #1
    Deedee81
    Modérateur

    Mesure de Lebesgue sur la droite


    ------

    Salut,

    J'ai lu qu'il n'existe pas de mesure de Lebesgue s'étendant à l'ensemble des parties de X où X est une droite de .

    C'était juste cité comme anecdote dans un article sur la mesure que j'ai lu. Mais ça m'intrigue.

    Vous savez comment est-ce qu'on démontre une telle chose ?

    Merci,

    -----
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  2. #2
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Mesure de Lebesgue sur la droite

    J'ai trouvé un (contre-)exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Vitali
    ce qui répond à la question.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Mesure de Lebesgue sur la droite

    Bonjour.

    sans axiome du choix, difficile de trouver des ensembles qui ne soient pas Lebesgue-mesurables. ce qui fait que certains ont au contraire proposé de prendre comme axiome : Tout sous-ensemble de R est mesurable.
    Opérationnellement, c'est efficace : Il n'y a plus à prouver à chaque fois la mesurabilité. Mais on fait trop de choses déjà avec l'axiome du choix pour accepter de le renier pour une simple raison d'efficacité pratique.

    Cordialement.

  4. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Mesure de Lebesgue sur la droite

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    sans axiome du choix, difficile de trouver des ensembles qui ne soient pas Lebesgue-mesurables. ce qui fait que certains ont au contraire proposé de prendre comme axiome : Tout sous-ensemble de R est mesurable.
    Opérationnellement, c'est efficace : Il n'y a plus à prouver à chaque fois la mesurabilité. Mais on fait trop de choses déjà avec l'axiome du choix pour accepter de le renier pour une simple raison d'efficacité pratique.
    Je suis d'accord. De toute façon, ma façon de voir (personnelle) c'est que "faut-il adopter l'axiome du choix" est une question plutôt creuse : c'est juste une question de.... choix. On choisi les axiomes qu'on veut avec des critères basé sur l'utilisé, l'aspect pratique,.... comme le critère que tu donne.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  5. A voir en vidéo sur Futura

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