Un exercice d'Analyse Fonctionnelle.

[invitec3b608ea]

Bonsoir à tous, voici un exo d'Analyse Fonctionnelle qui devrait être résolu par le principe de la borne uniforme mais pour lequel je tiens un autre raisonnement qui me semble correct, je viens chercher confirmation.

On considère l'espace des suites de complexes pour lesquelles muni de la norme 2. Et un suite telle que, pour toute suite est convergente.
On demande de montrer que où l'application est définie par et d'en déduire que .

Avec une grosse indication: on admet sans démontrer que, est une fonctionnelle linéaire bornée et



Voici la réponse que je propose:

puisque, par l'indication, quelque soit N l'application est bornée.
Or, comme convergence simple d'une suite entraine sa convergence absolue (ou en module en l'occurrence) pour tout car converge.
Donc donc

Est ce correct ou me trompé-je ?
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[invite212a1c38]

Bonjour,

Attention il y a une erreur : la convergence simple n'entraine pas la convergence absolue.

L'indication est facile à prouver. S_N est évidemment linéaire. La continuité vient de la majoration

par l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il vient

où l'on a posé

L'égalité

se voit en considérant la suite de l^2
si et sinon.

Le reste de l'exercice se traite avec le théorème de Banach-Steinhaus.

Bon courage

[invitec3b608ea]

Merci pour la réponse mais je ne crois pas me tromper en disant que la convergence simple d'une suite (pas d'une série!) entraine sa convergence absolue... je regarderai ça avec BS

[invite212a1c38]

Curuxa,

En effet, vous avez raison pour la convergence absolue de la suite (désolé pour l'erreur). En revanche c'est lorsque vous écrivez
que vous utilisez implicitement la conclusion de BS.

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3b608ea]

En l'occurence, pas vraiment (enfin je crois...), j'utilise surtout le fait que la série est convergente quel que soit b de l^2.

Bonne journée égalment