Vérifié une relation entre matrices

[invite212e4fcc]

Hello,


Tout nouveau sur le forum je viens (après recherches) pour obtenir votre aide concernant un exercice mettant en relation différentes matrices! C'est un exercice purement théorique et je pense que ça sera une formalité pour beaucoup d'entre vous mais si quelqu'un pourrait m'éclairer ça me rendrait service

"On considère 2 matrices carrées A et B de format 4. On note I la matrice identité de format 4. Les matrices A et B vérifient la relation :

A²+AB-A=I

1)Déduire de cette relation que A est inversible et déterminer A^-1.
2)Quand dit-on que deux matrices M1 et M2 commutent ? Les matrices A et B commutent-elles ?"



J'aimerais donc savoir la méthode pour répondre à la première question et à la deuxième s'il vous plaît

Merci d'avance à la personne qui prendra le temps de répondre à mes interrogations.
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[Médiat]

Bonjour,

La question 1) est très facile : que feriez-vous si A et B étaient des nombres réels et non des matrices ?

[Resartus]

Une différence essentielle entre calcul matriciel et calcul "habituel" avec des nombres est que le produit est non commutatif, c'est à dire que AB n'est pas toujours égal à BA. Pour certaines matrices, on a AB=BA, on dit alors que les deux matrices commutent.
Par contre la somme est bien commutative, et la distributivité reste vraie, à condition de respecter l'ordre du produit, c'est à dire que :
A*(B+C)=AB+AC et (B+C)*A=BA+CA

Dans l'exercice 1 le A est en première position dans les trois termes, on peut donc le mettre en facteur, ce qui va donner A*(quelque chose)=I
Par définition de l'inverse cette matrice quelque chose sera l'inverse de A.
Ensuite, puisque c'est l'inverse, on peut aussi écrire que quelquechose*A=I=A*quelquechos e
Faites quelques manipulations et simplifications, et vous verrez ce que cela implique pour AB et BA

[invite212e4fcc]

Merci pour votre réactivité !

Je pense juste que j'ai un soucis pour me représenter les matrices dans ma tête et je ne possède peut-être pas assez de connaissances concernant les propriétés appliqués sur celles-ci.

Donc si on factorise on obtient : A(A+B-1)=I. Mais arrivé ici je ne comprends pas en quoi on a prouvé que A est inversible ?!
Parce-que vous me dites "cette matrice quelquechose sera l'inverse de A". Ce qui signifie que (A+B-1) = à A^-1 ?


"Ensuite, puisque c'est l'inverse, on peut aussi écrire que quelquechose*A=I=A*quelquechos e" ==> toujours vérifié ?


Encore merci pour le temps que vous m'accordez

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Mais arrivé ici je ne comprends pas en quoi on a prouvé que A est inversible ?!

Que veux dire être inversible pour une matrice ?

[invite212e4fcc]

Qu'il existe une autre matrice tel que par exemple M=A^-1 ?

[Tryss2]

Oui, être inversible veut dire avoir un inverse, mais ça ne nous avance pas beaucoup (rappel, est une notation pour l'inverse de )... Que signifie que la matrice M est l'inverse de la matrice A?

[invite212e4fcc]

Il faut m'éclairer là, je vois pas ou vous voulez en venir ?

[Tryss2]

Quelle est la définition de l'inverse d'une matrice?

[invite212e4fcc]

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s'il existe une matrice B d'ordre n telle que : où In désigne la matrice unité d'ordre n et la multiplication est la multiplication ordinaire

[Tryss2]

Quand tu copie colle de wikipedia, vérifie que les formulent passent bien, en l'état ton message ne fait aucun sens

Donc A est inversible si il existe une matrice M tel que AM = MA = I

On peut même montrer que c'est équivalent à AM=I seulement et que si M existe, alors il est unique.


Donc ici tu as montré que AM = I avec M = A+B-I, donc A est inversible et son inverse est M, c'est à dire A+B-I

[invite212e4fcc]

Parfait merci beaucoup ! C'est beaucoup plus clair
Mais du coup, dans la deuxième partie de la question on me demande de donner son inverse, je n'ai plus qu'a dire que ça correspond à M. M étant A+B-I ?


Merci

[invite212e4fcc]

Edit :
Dans la question 2 on me demande si A et B commutent, donc si AB=BA, mais comment le montrer ?

[Médiat]

Resartus a répondu au messagr #3