Besoin d’éclaircissements sur les Z/nZ multiplicatifs

[invite4308cf33]

Bonsoir !

J'aurais besoin de petits éclaircissements au sujet du groupe (Z/15Z,*).
On sait que ses éléments inversibles sont {1,2,4,7,8,11,13,14}.

J'ai lu qq part que 4, 11 et 14 étaient d'ordre 2 et 2, 7, 8, 13 d'ordre 4.
Sachant que je travaille en autodidacte (je suis débutante), que je n'ai pas de cours, j'aimerais savoir comment on a pu définir ceci...

On sait que le groupe multiplicatif Z/15Z est d'ordre 8 car il a 8 éléments inversibles, premiers avec 15, mais pourquoi, par exemple, 13 est d'ordre 4 dans le groupe * Z/15Z ?

Je demande vraiment à en savoir plus à ce sujet que je ne maîtrise pas très bien...
Avec des termes simples, que je puisse facilement comprendre...

Bonne soirée et merci bcp à ceux qui voudront m'aider !
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[invite23cdddab]

Parce que 13^4 = 1, modulo 15 bien entendu (et que les puissances inférieures ne font pas 1)

[invite4308cf33]

Merci pour la réponse !

Mais comment le savoir assez rapidement ?
Sachant que 13^4 est un nombre élevé, comment on peut "reconnaître" les nombres d'ordre 2, 4 et 8 rapidement ?

Mes questions peuvent paraître stupides pour les connaisseurs, mais j'aimerais vraiment y comprendre quelque chose...

[invite23cdddab]

Bah on peut calculer les puissances successives de 13 modulo 15:
13*13 = 169 = 15*11+4 = 4
13*13*13 = 13*4 = 52 = 3*15+7 = 7
13*13*13*13 = 4*4 = 16 = 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite26ea85d9]

Ce que dit tryss est correct mais de façon pratique pour les puissances je préfère réutiliser les résultats précédents:
13^4=(13^2)^2=4^2=16=1 [15]

pour voir que 13^2=4 [15], il me parait plus facile de voir que 13=-2 [15] d'ou 13^2=(-2)^2=4 [15]