Relation entres les déterminants d'une famille de matrices

[invitec23ba286]

Bonjour a tous
Je suis un étudiant en master, j'ai trouvé un exercice sur les déterminant d'une famille de matrices, La question est ce qu'il y'a une relation entre le déterminant de (I+[t][/i] [A][/i] ) pour i allant de 1 à n, et le déterminant de
(I+[t][/1] [A][/1]+[t][/2] [A][/2]+[t][/3] [A][/3]+...+[t][/n] [A][/n])
J'ai essayé d'utiliser le polynôme caractéristique de chaque matrice, mais je n'arrive pas à trouver le lien entre ces quantités et le
deuxième déterminant qui regroupe toutes les matrices.
Est ce que vous avez une idée pour la faire.
Vous trouver ci-joint les équations.
Merci
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[Seirios]

Bonjour,

Faut-il libre et ?

[invite5161e205]

Je comprends que les i sont des indices.

Sachant que si A et B sont des matrices de taille n x n : DET(A.B)= DET(A).DET(B)
La réponse vient naturellement.

[Seirios]

C'est en effet possible. Mais dans ce cas, je ne vois pas en quoi ta réponse donne une indication : on a une somme et non un produit, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5161e205]

Oups, tu as raison, j'ai lu l'expression trop vite.

[invite5161e205]

En dimension 2 uniquement, avec 2 matrices A et B, je trouve :
DET(I+ta.A+tb.B)-DET(I+ta.A)-DET(I+tb.B)=ta.tb.( DET(A+B)-DET(A)-DET(B) ) -1

Il n'y a pas d'expression possible de DET(I+ta.A+tb.B) en fonction de DET(I+ta.A) et DET(I+tb.B) déjà en dimension 2.

Soit il manque des propriétés spécifiques à cette famille de matrices, soit il n'y a pas de relation possible.

[invitec23ba286]

Bonjour
Merci pour vos reponses, en fait je crois que nous devons utiliser des fonctions qui s'appelent les fonctions élémentaires symmétriques, ces fonctions qui sont définit sur Rn et qui font tous les produits possible entre les n variables, puisqu'il y'a une formule de déterminant en fonction de ces fonctions, là on jout sur les propriétés de ces fonctions mais j'arrive pas à le trouver

[invite5161e205]

N'y a-t-il pas un énoncé clair de cet exercice ?
Tel quel, sans propriétés spécifiques de la famille de matrices, il n'y a pas de solution.