Déterminants (matrices ) et applications ...

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous , merci pour votre future aide ...

Je viens d'apprendre comment calculer des déterminants , et je penses maintenant être assez au point pour aller plus loin dans mon cours ...

Juste une petite question pour verifier :

1.

losque j'ai une matrice 3*3 du type

3 0 -3
2 1 6
0 -1 0

Je peux calculer le déterminant à l'aide de la règle de sarrus, ou bien de développant suivant la première colonne ou la première ligne ...

Mais est-ce que j'ai le droit de développer a partir de n'importe quelle ligne ou clone ... car dans mon exemple si je développe a partir de la 3 eme ligne , il y a deja deux 0 donc c'est beaucoup plus rapide ... le calcul revient à :

3 -3
- (-1) * det 2 6 <=> 1* 18 + 6 = 24 ce que l'on trouve avec les autres méthode ... mais est-ce un coup de chance ? !!




(2) maintenant que je sais calculer les déterminants , j'aimerais les appliquer et comprendre leur intérêts ...

J'ai un exercice ou je dois trouver l'équation d'un plan passant par les point A(1,0,2) B(-1,4,2) C(3,-2, -1)

je ne sais pas du tout comment faire , je ne vous demande pas une réponse mais plutôt de m'expliquer quelle démarche utiliser et pourquoi ... Qu'est-ce que le calcul des déterminants va nous apporter pour l'équation du plan ?


merci beaucoup !
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[invitebe0cd90e]

1) oui, tu as le droit, a condition de faire attention a la regle des signes.

2) ca n'est pas forcement le moyen le plus rapide, mais tu peux faire ca avec les determinants. D'une maniere generale, si tu prends n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n, tu peux former une matrice carrée nxn en mettant en colonne (ou en ligne) les coordonnées de ces vecteurs. Le truc, c'est que ta famille de vecteur est liée si et seulement si le determinant de la matrice correspondante est nul.

Pour appliquer ca a ton exemple, tu choisis une "origine", par exemple A. Dans ce cas, un point X appartient au plan si et seulement si la famille de vecteur est liée, donc si son determinant est nul. Notes que pour parler de vecteurs de cette facon, on sous entend plutot qu'on manipule des espaces affines.

EDIT: (hum, probleme de LaTeX, dans la parenthese ce sont bien des vecteurs, avec une petite fleche au dessus, en principe )

EDIT² (Flyingsquirrel) : C'est corrigé (il faut utiliser \vec plutôt que \overrightarrow).

[inviteaa7fccc7]

Merci beaucoup pour ton aide j'y vois plus clair maintenant ....

Donc les determinants permettent de savoir si des vecteurs sont libres ou liés ...

que pouvons nous apprendre de plus sur les vecteurs grace aux déterminants ?

merci beaucoup