Identités approchées

[Deedee81]

Salut,

L’ensemble des éléments auto-adjoints d’une C*-algèbre A a la structure d’un espace vectoriel partiellement ordonné. Cet ordre est habituellement noté . Dans cet ordre, un élément auto-adjoint x de A satisfait si et seulement si pour un certain s dans A.
Deux éléments auto-adjoints x et y de A satisfont si et seulement si .

Toute C*-algèbre A a une identité approchée. En fait, il existe une famille ordonnée d’éléments auto-adjoints de A tels que :
pour x appartient à A.
si (1 est l'identité)

Savez-vous comment démontrer ça ? Ou bien des indices ?

Merci,
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Ça semble être un résultat assez difficile. À tout le moins, c'est ce qui semble ressortir de mes recherches ; j'apprécierais beaucoup si un autre forumeur devait intervenir après moi pour me montrer que j'ai tort sur ce point

Soit une -algèbre, pas forcément unitaire. Posons l'ensemble de ses éléments positifs. Il s'agit évidemment d'un cône, c'est-à-dire que cet ensemble est fermé par la multiplication par un scalaire positif. Il s'agit d'un ensemble (partiellement) ordonné via la relation d'ordre que vous avez donnée.

Il est dit ici et là que l'ensemble est une approximation de l'unité. Plus explicitement, est un ensemble (partiellement) ordonné filtrant et l'application est un filet vérifiant les (autres) propriétés d'une approximation de l'unité que vous avez mentionnées. Les deux concepts en gras dans la phrase précédente sont évidemment à démontrer.

Dans une référence que je possède, il est suggéré en exercice de démontre cet énoncé comme suit :
1) Montrer que est un ensemble (partiellement) ordonnée filtrant.
2) Montrer que et sont isomorphes comme ensembles ordonnés, de sorte que serait aussi filtrant.
3) En déduire que est une approximation de l'unité dans .

Pour l'instant, considérant ma faible maîtrise des -algèbre, je ne sais démontrer que le point 1). Je n'ai pas l'impression que les parties 2) et 3) sont « indépendantes » de 1), en ce sens que j'anticipe l'utilisation de quelques idées communes ou analogues. Ainsi, après avoir résolu 1), j'imagine que 2) et 3) ne sont pas trop difficiles, mais je ne vois pas comment les résoudre pour l'instant.

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Tout d'abord, on étend en une algèbre unitaire . Pour ce faire, si dénote l'ensemble des endomorphismes (continus) de , alors est naturellement plongé dans via la multiplication par la gauche. Il suffit alors de définir . Il est à noter que .

Pour , notons la plus petite -algèbre dans contenant et . Cette algèbre est commutative et unitaire. En vertu d'un théorème de Gelfand-Naimark, est isomorphe comme -algèbre à une algèbre de fonctions continues à valeur complexe sur un espace topologique compact munie de la norme uniforme. Les éléments auto-adjoints de correspondent tout simplement aux fonctions réelles. La condition de positivité correspond à la positivité des fonctions. En travaillant avec les fonctions réelles, il est possible de montrer que

.

Puisqu'il y a isométrie entre les deux algèbres, et puisque l'affirmation de droite ne fait explicitement intervenir aucune propriété des fonctions, cette équivalence tient verbatim dans . L'affirmation de droite ne faisant explicitement intervenir aucune propriété de , cette équivalence donne un critère permettant d'identifier les éléments de dans .

En utilisant ce critère, il est possible de montrer que si , alors . Cela permet directement de démontrer que est filtrant, une borne supérieure commune à a et à b étant a+b.

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En fait, puisque est un cône, on déduit même que implique pour . Je pense que cette observation peut aider à démontrer la partie 2), mais je ne le sais pas vraiment.

À plus tard, si je vois comment avancer !

[Deedee81]

Salut,

Ah oui, ça a l'air costaud.

Bon, merci, je vais regarder ça de plus près demain fin de journée. En l'absence d'autres réponses je ferai moi-même l'un ou l'autre commentaire.

[Deedee81]

Salut,

Ca y est, j'ai eut le temps de regarder. Merci pour l'effort d'ailleurs, le sujet est en effet difficile !

Ok pour le 1 de la démo, j'ai compris, même si je trouve ça fort complexe.
Le 2 ne me semble pas évident. Je ne vois pas comment faire a priori.
Le 3 ne me semble pas difficile, à moins que je ne me trompe. Il suffit de prendre des de norme de plus en plus petite (ce que la définition de I et le caractère filtrant garantit) et en utilisant la C*-identité alors pour un y quelconque.
C'est intuitif, mais j'ai du mal à voir comment le rédiger rigoureusement.

Bon, si on ne vas pas plus loin à cause de la complexité, ce n'est pas grave. C'est juste que ça me chiffonne quand je vois une affirmation sans démonstration dans des notes/livres/articles
C'est comme pour un théorème de Sherman-Tadeka que je cherchais : je l'ai trouvé sur wikipedia anglais mais sans la démonstration, que je n'ai trouvé nul part (libre d'accès. Ca existe en article payant).
=> on peut garantir que c'est très compliqué

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bonjour,

Ca y est, j'ai eut le temps de regarder. Merci pour l'effort d'ailleurs, le sujet est en effet difficile !

Ok pour le 1 de la démo, j'ai compris, même si je trouve ça fort complexe.

Je ne sais pas s'il y a une preuve plus simple, mais en y réfléchissant personnellement, j'anticipais uniquement une démonstration passant par la partie 1) (ce que la référence que j'ai consultée, via son exercice, semble corroborer). Je souhaitais effectivement montrer que a+b bornait a et b, mais sans trop voir comment ; j'ai été aiguillé vers une solution en consultant une autre référence qui utilisait le théorème de Gelfand-Naimark à qui mieux mieux...

Le 2 ne me semble pas évident. Je ne vois pas comment faire a priori.

Moi non plus, je n'ai pas encore trouvé.

Le 3 ne me semble pas difficile, à moins que je ne me trompe. Il suffit de prendre des de norme de plus en plus petite (ce que la définition de I et le caractère filtrant garantit) et en utilisant la C*-identité alors pour un y quelconque.
C'est intuitif, mais j'ai du mal à voir comment le rédiger rigoureusement.

Je ne comprends malheureusement pas ce raisonnement.

Déjà, je ne vois pas comment lier l'ordre partiel et la norme : par exemple, je ne vois pas pourquoi la suite des normes d'une suite monotone serait monotone.

Par ailleurs, par définition de I, nous avons , ce qui (avec la C*-identité) implique . Si nous pouvons prendre (voir commentaire ci-dessus) des de norme strictement de plus en plus petite, nous obtenons , ce qui est contraire à la convergence des vers . Donc en fait, la véracité de la partie 3) nécessite .

En fait, il suffit de montrer , puisque la C*-identité impliquerait .

Bon, si on ne vas pas plus loin à cause de la complexité, ce n'est pas grave. C'est juste que ça me chiffonne quand je vois une affirmation sans démonstration dans des notes/livres/articles
C'est comme pour un théorème de Sherman-Tadeka que je cherchais : je l'ai trouvé sur wikipedia anglais mais sans la démonstration, que je n'ai trouvé nul part (libre d'accès. Ca existe en article payant).
=> on peut garantir que c'est très compliqué

Oui, je comprends très bien ce sentiment.

Il s'avère que je souhaitais dernièrement me familiariser un tout petit peu avec la théorie des C*-algèbres, donc votre question tombait à point nommé pour m'exercer. Malheureusement, je réalise que la théorie des C*-algèbres a ceci de particulier que mêmes les résultats les plus élémentaires nécessitent des idées éparpillées afin d'être démontrés ; malgré la définition axiomatique de ces algèbres, le développement de la théorie est dès le départ assez peu « linéaire » et « systématique ».

[invite93e0873f]

Bonjour,

Quelques notations : soient une C*-algèbre unitaire (l'élément unité étant noté 1), les éléments autoadjoints, les éléments positifs, la boule unité ouverte, la boule unité fermée et .

Je vais montrer « directement » que I (muni de l'ordre partiel usuel de ce fil) est un filtre et qu'il s'agit d'une approximation de l'unité. Il est bon de relire le critère de positivité que j'ai mentionné dans mon premier message.

1) L'élément 1 est une borne supérieure de I. En fait, nous allons montrer que 1 est un élément maximal de . En effet, considérons . Par hypothèse, est positif et . Ainsi, par l'inégalité triangulaire, . Nous calculons maintenant . Ainsi, en vertu du critère de positivité, , donc ; ceci prouve l'affirmation. Incidemment, J est un filtre.

Il résulte de ceci que , où nous employons la somme de Minkowski d'ensembles (1 dénote ici abusivement le singleton ). En particulier, .

2) Soit . Considérons la sous-algèbre (commutative) engendrée par et 1. En vertu du théorème de Gelfand-Naimark, il existe un espace topologique compact tel que comme espaces normés (la norme uniforme étant utilisée sur l'espace fonctionnel). Sous cet isomorphisme, 1 correspond à la fonction constante 1 et les éléments et (qui appartiennent par hypothèse à ) correspondent à deux fonctions réelles positives. En particulier, la fonction représentant vérifie pour tout , de sorte que . Ainsi, et, en fait, aussi .

Les parties 1) et 2) montrent donc . Ainsi, . Nous ne l'avons pas montré, mais est fermé dans (une preuve aisée de ceci utilise le critère de positivité), de sorte que la fermeture de I est J. Plus encore, dans la topologie induite sur , I est ouvert et J est fermé ; il en résulte que I aussi doit être un filtre.

3) Remarquons que est un ensemble symétrique par rapport à l'élément : si , alors . En particulier, .

4) Soit . Il est clair que . Les éléments qui sont supérieurs à sont ceux dans l'ensemble . Remarquons qu'une homothétie de centre 1 et de facteur envoie en bijection sur et sur . Ainsi, les éléments qui sont supérieurs à sont dans une boule ouverte centrée en 1 de taille, par exemple, .

Puisque les boules centrées en 1 forment une base du système de voisinages ouverts de 1, il résulte de ceci que le filtre I converge vers 1. Donc I est une approximation de l'identité, en vertu de la remarque que j'ai faite dans mon dernier message.

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Je n'ai pas davantage réfléchi au cas où la C*-algèbre n'est pas unitaire, qui est celui de plus grand intérêt.

[Deedee81]

Génial, merci.