Est-ce vraiment un produit scalaire?

[Curuxa]

Bonjour à tous,

J'ai appris la notion de produit scalaire comme étant une forme sesquilinéaire définie positive, selon ce caractère "défini", pour un espace vectoriel muni d'un ps nous avons:

.

En parcourant ce cours de calcul tensoriel sur internet on tombe sur ceci:

Dans le cadre d'un EV de dim2 dont une base est donnée par e_1,e_2 , on considère le produit scalaire :



déjà ça suppose un e_2 de norme i, ce qui est assez déroutant mais, si on prend x=e_1+e_2 et y=a(e_1+e_2) (supposés non nuls) ils sont, par ce produit scalaire, orthogonaux mais linéairement dépendant...

Alors que, avec la définition du produit scalaire donnée au départ, on aurait ax+by=0 donc ax y + b y y =0 et comme y y est censé être non nul on a que b=0, en multipliant par x on trouve a=0 et les vecteurs sont LI!

J'ai vaguement rencontré ce genre de choses, les trouvant "bizarres" mais je ne voulais pas trop y mettre les mains... maintenant, ça me dérange vraiment...dois-je revoir cette définition "classique" du produit scalaire qui est en conflit avec tout ceci d'autant qu'on doit aussi redéfinir la norme alors (ne s'annule qu'avec le vecteur nul c'est pour ça qu'elle fournit des espaces séparés d'ailleurs et c'est plutôt sympa il semble)? Auriez-vous des conseils pour se sentir "à l'aise" avec ce cas de figure?

Merci à ceux qui liront!
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[ansset]

bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre.
Un produit scalaire est un "produit" entre deux vecteurs, mais dont le resultat est un scalaire, contrairement au produit vectoriel.
Tu sembles multiplier des scalaires, non ?
Ensuite, celui ci peut très bien être négatif.
Et que veux dire :
" orthogonaux mais linéairement dépendants "?
merci pour tes précisions.

[Resartus]

On peut définir une norme dans l'espace vectoriel, avec une "signature" qui n'est pas nécessairement celle de la norme euclidienne. On parle d'espace pseudo euclidien.
Par exemple, on utilise beaucoup en relativité restreinte la signature + + + -, c'est à dire que le carré de la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé est x²+y²+z²-t²*. L'espace en question s'appelle espace de minkowski

Dans ce cas, il y a ce qu'on appelle des vecteurs dits "isotropes" qui ont une norme nulle (on dit genre lumière en relativité), genre espace ou genre temps selon le signe du carré de la norme.

*Le temps est parfois mis en positif. Dans ce cas la signature est + - - - et cela change la définition pour genre temps et genre espace.

Le produit scalaire s'adapte lui aussi, et sa nullité n'a pas les mêmes conséquences que dans le cas euclidien....

[Tryss2]

L'exemple que tu cite me parait étrange. En tout cas le fait d'appeller ça produit scalaire

Il est clair que c'est la définition habituelle du produit scalaire qui est la bonne, la positivité étant fondamentale dans tout un paquet de trucs.

Et que veux dire :
" orthogonaux mais linéairement dépendants "?

Que l'on a x.y = 0 mais aussi x= ay

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Il est vrai que les physiciens ont l'habitude d'arranger certaines notions mathématiques à leur sauce, et les mathématiciens ont parfois eu du mal à y retrouver leurs enfants et à les formaliser proprement (par exemple la théorie des distributions, ou les espaces de Hilbert)
Minkowski était quand même un "vrai" mathématicien
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Minkowski

[ansset]

OK, effectivement, a=0 est la seule solution.

[Curuxa]

Ansset : Les distinctions entre vecteurs et scalaires ne sont pas notées…

Oui, pas de problème avec un produit scalaire négatif mais, ici, le produit scalaire d’un vecteur (e_2) avec lui-même est négatif ! Et, cela induit des choses bizarres comme le fait que, justement, a=0 ne soit pas l’unique solution…

Resartus : Merci beaucoup pour cette réponse fournie ! Dans le cas de la matrice de ma question on aurait une « signature » +- ? Est-ce une convention que de mettre le signe positif en première position (+---) et cela se répercute-t-il sur la position des colonnes de ta matrice? Je veux dire: dans ta signature +++- j’imagine que le – se trouve en dernière colonne, si on veut un temps positif +--- on change les signes et aussi l’ordre des colonnes ?

Tu parles d’espace « pseudo euclidien » on pourrait dire que c’est un « pseudo produit scalaire » dans ce cas ? (ça m’arrangerait ^^)
Et donc si ce (pseudo) produit scalaire n’a « pas les mêmes conséquences que dans le cas euclidien » ça veut dire justement qu’on ne doit plus penser l’orthogonalité comme une relation qui entraine nécessairement l’indépendance linéaire ?
Beaucoup de questions…

Tryss2 : Tu me rassures !

[Amanuensis]

Dans le cas de la matrice de ma question on aurait une « signature » +- ?

Oui, quasiment par définition! (Ce n'est pas la signature de la matrice, mais celle de la forme bilinéaire qu'elle représente...)

Est-ce une convention que de mettre le signe positif en première position (+---) et cela se répercute-t-il sur la position des colonnes de ta matrice?

Non à tout. L'ordre n'est qu'une question de choix de la base. Et souvent la multiplication par un scalaire non nul n'est pas significatif, ce qui fait que +--- peut se confondre avec -+++ (c'est le cas pour les théories de la relativité...).

Tu parles d’espace « pseudo euclidien » on pourrait dire que c’est un « pseudo produit scalaire » dans ce cas ? (ça m’arrangerait ^^)

On trouve souvent "pseudo-métrique" en physique, jamais pseudo produit scalaire. Mais c'est bien dans l'idée.

Et donc si ce (pseudo) produit scalaire n’a « pas les mêmes conséquences que dans le cas euclidien » ça veut dire justement qu’on ne doit plus penser l’orthogonalité comme une relation qui entraine nécessairement l’indépendance linéaire ?

Oui. Ou la position opposée: refuser de parler d'orthogonalité, de norme, de produit scalaire, pour les formes bilinéaires ou sequilinéaires non dégénérées mais non positives et non définies.

[Curuxa]

Merci pour ces précisions...La dernière alternative quant à l'utilisation des mots est tentante