Géometrie différentielle appliquée

[invite52487760]

Bonsoir à tous,

Je me permets d'ouvrir ce fil pour poser toutes les questions qui m'intriguent en géo. diff. calculatoire et appliquée afin de me rafraichir la mémoire, et je commence par la question suivante :

Soient : et deux fibrés vectoriels.
Pourquoi : ?
Pourquoi : ?

Je tiens à préciser que : est l'ensemble des sections du fibré vectoriel : .

Merci d'avance.
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[invite52487760]

Re salut :

Pour ce qui est de la première question, voici ce que je pense :
On raisonne localement, puis on recolle :
Soit un ouvert de , alors, il faut montrer que : ( La dernière égalité est par définition )
Soit : définie par :
telle que .
En revanche, ( resp. ) se projette sur une base locale du - module localement libre ( resp . ), et finiment engendré, car on considère à priori qu'il s'agit de fibré vectoriel de rang fini par exemple.
Alors, on a : et .
Et par conséquent : : .
Voilà ! J'ai défini pour tout . Il me reste à montrer que est un isomorphisme pour tout , on emprunte alors la même démarche qui permet de montrer en toute généralité qu'un espace vectoriel de dimension finie est isomorphe à son dual ( isomorphisme non canonique ), je ne vais pas reprendre la démonstration ici, parce qu'elle se trouve dans n'importe quel bouquin d'algèbre linéaire. On considère bien sur des fibrés vectoriels réel et non complexe.
On démontre ainsi que est un isomorphisme, et par recollement on conclut que est un isomorphisme. CQFD
Non ? Voilà en gros à quoi je pense, je n'arrive pas à justifier pourquoi on peut passer du ponctuel au local, ça doit être en lien avec la structure différentielle de la variété de base M, mais j'attends votre correction, ça serait beaucoup mieux.

Il reste à établir la seconde question. Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

[invite52487760]

Pour le second isomorphisme ( Produit tensoriel ), voici ce que je pense :

Comme d'habitude, on raisonne localement, puis on recolle :
Soit un ouvert de , alors, il faut montrer que :
Soit : définie par :
telle que : qui, on doit montrer que c'est un isomorphisme, mais je ne sais pas comment. Aidez moi svp.

Merci d'avance.

[invite52487760]

Je remonte ce fil pour voir si quelqu'un a une réponse. Merci d'avance.

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