Même nature des suites équivalentes

[Edvart]

Bonjour,

Je suis coincé dans la démonstration d'un théorème qui dit que deux suites équivalentes sont forcément de même nature. La démonstration dit que :
Pour tout ε > 0, il existe N tel que n >= N implique | Un - Vn | <= ε | Vn | (définition de l'équivalence, ça va)

1)"Soit, en développant : ( 1 - ε ) Vn <= Un <= ( 1 + ε ) Vn" ... Je n'ai pas du tout comprit en quoi c'est évident de passer à ça comme ça.

2)"En appliquant le théorème de comparaison, si la suite Vn converge, alors Un converge vers la même limite". Encore une fois ça va trop vite pour moi..
Ca veut dire que ( 1 - ε ) Vn et ( 1 + ε ) Vn ont forcément la même limite? C'est sensé être évident?

3) Est-ce que ce théorème dit qu'en plus d'être de même nature, elles ont la même limite?

Merci d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Si |Un-Vn|<epsilon.|Vn|, alors -epsilon|Vn|<Un-Vn<epsilon|Vn|. Puis, on peut voir ce que cela signifie si Vn est soit négatif, soit positif

Ensuite, si Vn converge vers A, alors (1-epsilon)Vn et (1+epsilon)Vn aussi, puis théorème des gendarmes...

La démonstration ne marche que si Vn a une limite, sinon on ne peut que parler de "nature" des suites...