Série et convergence

[invite2a5e22a0]

Bonjour, voici mon problème dans l'image (C'EST LE NUMÉRO IV) j'aurais besoin de coup de pouce pour commencer. J'ai fait plein d'algèbre, mais il me reste toujours un terme qui ne disparait pas.

Merci

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[invite2a5e22a0]

Sauriez-vous comment on passe de ceci: 1/n(∑ de 1 jusqu'à N) Xi² - 2*X_n*1/n(∑ de 1 jusqu'à N)Xi+1/n*(∑ de 1 jusqu'à N)X_n²)
à ceci : 1/n (∑ de 1 jusqu'à N)Xi² - X_n² ?

Voici la page le concernant c'Est au équation (13) et (14)
http://francois.schulhof.perso.neuf....Ponctuelle.pdf

[gg0]

Bonjour.

Après la factorisation par 1/N, on développe le carré, puis on réordonne la somme par termes de même genre. la somme des double produits fait apparaître une factorisation.

Le plus simple pour bien comprendre et de prendre une valeur de N, par exemple 3, puis faire le calcul avec les sommes développées.

Cordialement.

[gg0]

Sauriez-vous comment on passe de ceci: 1/n(∑ de 1 jusqu'à N) Xi² - 2*X_n*1/n(∑ de 1 jusqu'à N)Xi+1/n*(∑ de 1 jusqu'à N)X_n²)
à ceci : 1/n (∑ de 1 jusqu'à N)Xi² - X_n² ?

A priori on ne peut pas. A moins que Xn ne soit pas un Xi pour i=n mais autre chose. par exemple la moyenne m :
1/N(∑ de 1 jusqu'à N) Xi² - 2*m*1/N (∑ de 1 jusqu'à N)Xi +1/N*(∑ de 1 jusqu'à N m²) = 1/N (∑ de 1 jusqu'à N)Xi² - m²
J'ai aussi rectifié les n qui ne correspondent à rien.
De façon évidente, il faut transformer les deux derniers termes. Le dernier est facile, une somme de termes égaux, tu fais ça depuis le CE2. Dans le terme du milieu il y a justement l'écriture de m développée. Il te suffit de savoir ce qu'est la moyenne.

[A voir en vidéo sur Futura]