laplacien d'une fonction complexe

**theophrastusbombastus** · 07/02/2016, 17h50

Bonjour a tous !
petit blocage dans la recherche de la solution d'un exercice ! On cherche a montrer que le Laplacien du carré de la norme d'une fonction holomorphe est positive ou nul, autrement dit :
$\text{[math]}$ (naturellement avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ )
on sait que $\text{[math]}$ est holomorphe, donc les critères de Cauchy-Riemann nous donnent :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

J'ai donc commencé à chercher en développant :
$\text{[math]}$
mais après ca je ne sais pas trop où aller pour chercher la "positivité" du laplacien... J'aurais été tenté de faire apparaître des identité remarquable en "jouant" avec les dérivées partielles un peu "à la physicienne" et nos conditions de CR mais déjà c'est des math et ce n'est pas très concluant ! Toutes pistes de réflexions sera la bienvenue, merci d'avance !

**theophrastusbombastus** · 07/02/2016, 18h43

par moment faudrait que je réfléchisse avant de demander de l'aide... je pense avoir la reponse :
$\text{[math]}$ donc avec CR :
$\text{[math]}$ on développe tout ça :
$\text{[math]}$
on remet un coup de CR :
$\text{[math]}$
du coup la c'est cool j'ai plein de terme carré (positifs) et les autres semblent s'annuler :
$\text{[math]}$
mais ca ne s'annule que si j'ai le droit "d'inverser" mes derivées partielles... et là petite question, y a-t-il un equivalent de Schwarz en complexe ?

invite5357f325 · 07/02/2016, 18h56

Bonjour, tu n'as pas besoin d'un "Schwarz complexe" car u,v sont considérées comme des fonctions R^2 -> R^2 donc le Schwarz usuel s'applique.

**theophrastusbombastus** · 07/02/2016, 18h58

en effet pas bête... merci beaucoup !

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invite5357f325 · 07/02/2016, 19h05

De rien, tu as fais tout le travail !!

**theophrastusbombastus** · 09/02/2016, 13h55

Re bonjour,
autre question qui reste dans le même ordre d'idée donc plutôt qu’écrire un nouveau poste je vais demander ici ! Je dois démontrer que :
$\text{[math]}$ est équivalent à $\text{[math]}$
j'ai pensé a faire ca :
$\text{[math]}$
mais là j'ai plus d'idée pour en sortir quelque chose... des pistes s'il vous plait ?

invite5357f325 · 10/02/2016, 09h38

Il suffit d'écrire les dérivées en z et son conjugé avec des x et des y : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On a donc que $\text{[math]}$

**theophrastusbombastus** · 10/02/2016, 11h25

Ahhhh merci de votre réponse ! En effet ca marche beaucoup mieux comme ca

truc qui me chiffonne par contre dans l’énoncé c'est "équivalent à", dans la réponse rédigée il n'y a pas un petit truc à rajouter ? Ou la réponse comme vous me l'avez expliqué est elle suffisante ?
encore merci !

invite5357f325 · 10/02/2016, 13h25

De rien ! Comme le laplacien est un multiple positif de $\text{[math]}$ , le laplacien de f est nul si et seulement si $\text{[math]}$ .

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