Bonsoir,
J'ai besoin de quelques éclaircissements concernant un exercice de réduction d'endomorphisme.
Je ne recopie pas la matrice ici car je ne pense pas que cela soit nécessaire.
Je trouve un polynôme caractéristique P= (X-1)(X-2)².
On me demande, après avoir trouver ce polynôme caractéristique, de déterminer à partir du polynôme minimal si la matrice est diagonalisable, je vous expose donc mon raisonnement:
On sait que que le polynôme minimal est générateur des polynômes annulateurs, et d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique est annulateur.
Donc le polynôme minimal est soit X-1, soit X-2, soit (X-1)(X-2), soit (X-1)(X-2)².
La matrice n'est pas l'identité, donc ce n'est pas X-1, ce n'est pas non plus 2*Id donc ce n'est pas X-2.
Pour savoir si c'est (X-1)(X-2) ou (X-1)(X-2)², on calcule la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre 2, et si celui-ci est de dimension 1, on en déduit
que le polynôme minimal est (X-1)(X-2).
Le polynôme minimal est scindé à racines simples, donc la matrice est diagonalisable.
Tout cela est-il correct? (Il y a peut-être des énormités je viens seulement de commencer à étudier cela).
Merci d'avance pour votre aide.
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