Equation

[invite43f8d775]

Bonjour à tous

Existe-t-il une méthode générale pour trouver les couples p,q , entiers positifs, dans l'équation ci-dessous

3*p+2 = 2^q

ex: 3*2 +2) = 2^3
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[Médiat]

Bonjour,

Oui, il existe une méthode (très simple et parfaitement usuelle) donnant toutes les solutions, qu'avez-vous fait pour la trouver ?

[invite43f8d775]

Je pense qu'il faut passer par l'arithmétique modulaire (mais c'est un lointain souvenir ).

[Médiat]

Oui, c'est exactement cela : passez le 2 de gauche à droite ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43f8d775]

Bon, je peux écrire

3*p mod n= (2^q -2) mod n

si je choisi n=2, 2 et 3 sont premiers entre eux. Donc
p mod 2 =3^-1(2^q -2) mod 2.

Or 3^-1 mod 2 =1 mod 2. Donc
p mod 2 =(2^q -2) mod 2. Or 2^q -2 est pair, donc p mod 2 =0, p est un nombre pair 2m

Ca me donne 6*m = 2^q -2 soit 3*m = 2^(q-1) -1 et je ne suis pas plus avancé !

[Médiat]

Bonsoir,

Il vous reste à étudier les restes modulo ??? (à vous de jouer) des puissances successives de 2.

[invite43f8d775]

3*p _{mod n}= (2^q -2) _{mod n}

Si n=3, 3*p _{mod 3} =0 et j'obtiens une relation sur q

(2^q -2) _{mod 3} = 0, soit

2^q _{mod 3} = 2

q = 1 : impossible car 2¹ _{mod 3} = 2, mais dans l'eq totale 2^q-2 n'est pas strictement positif
q = 2 : impossible car 2² _{mod 3} = 1
q= 3 : c'est bon car 2² _{mod 3} = 2
q = 4 : impossible car 2⁴ _{mod 3} = 1
q= 5 : c'est bon car 2⁵ _{mod 3} = 2
...
q= 2p+1 : c'est bon car 2^2p+1 _{mod 3} = 2*4^p _{mod 3} =2*(4 _{mod 3})^p = 2


Donc q est un entier impair >1 : 3, 5, 7...etc

Bon demain je m'occupe de la suite

[invite43f8d775]

on a donc 3*p _{mod n}= (2^2m+1 -2) _{mod n} quel que soit n, soit

3*p = 2^2m+1 -2

soit

m=1 : 3*p = 6, p=2 q=3
m=2 : 3*p =30, p=10 q=5
m=3 : 3*p = 126 p=42 q=7
m=4 : 3*p = 510 p=170 q=9

Vérifications faites avec un tableur, ça colle. Youpi !