Solution stationnaire d'equation de chaleur

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Bonjour peut quelqu'un m'aider à demontrer le fait que si on considere l'equation:

Au(t,x) =ε F(u), sur [0; +∞[
alors il existe
ε₀>0 telque ∀ ε≺ε₀ ∃! u_ε solution de l'equation et ∥ u_ε(t)∥_m ≤1
ou Au=-∆u+u ∀ u(t) dans H_m( π^d) avec π^d=R^d/2πZ^d( tore de R^d)
et F:H^m( π^d) →H^m( π^d) est une application localement lipschitzienne.
Tout ce que je sais est que je doit utiliser le théoreme du point fixe de Banach
Merci en avance.
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[invitef53905f1]

Bonjour,
en utilisant le théorème des fonctions implicites j'ai pu prouver qu' il ∃ ε₀>0, ∃ r>0 tel que ∀ ε≺ε₀ ∃! u_ε solution de l’équation et ∥ u_ε(t)∥_m ≤r
mais dans la question posée il faut avoir ∥ u_ε(t)∥_m ≤1 et il faut utiliser le théoreme du point fixe de Banach .
Peut quelqu'un m'aider? Merci