equation de la chaleur stationnaire sur courbe 2D
Bonjour à tous,
Voici mon problème, je cherche à résoudre l'equation suivante:
d2T/dx2+d2T/dy2+A=0. Je connais y=f(x) et je connais A.
Comme il s'agit de dérivées partielles, je ne sais pas si je peux utiliser le fait que dy=f'(x)dx. Auquel cas je serais tenté d'écrire:
d2T/dx2(1+(1/f''(x))^2)+A=0. Mais je pense que c'est faux. Vous confirmez?
Et si j'ai raison, le f''(x) est assez méchant. Bref, pas de solution analytique?
Merci de vos conseils!
Bonjour.
Tu expose ton problème de façon peu compréhensible.
Que représente l'équation de la courbe dans ton problème, la frontière d'un domaine plan ? un corps linéique de rayon nul ?
Quelques infos supplémentaires seraient bien utiles.
@+
Ok je vais essayer de clarifier mon problème. La courbe y=f(x) représente le profil de mon milieu. En l'occurence, un fil d'aluminium par lequel transite un courant I, auquel est associée une puissance Ri^2, contenu dans la constante A. Je suppose être en régime stationnaire. Par ailleurs, j'ai oublié de mentionner le fait que les températures T(xmin,f(xmin))=T1 et T(xmax,f(xmax)) = T2 sont connues. Comme je suppose qu'il n'y a pas de convection dans mon fil dont la forme est donnée par f(x), je dis que la section du fil est isotherme, et c'est pour cette raison que je raisonne sur une courbe (1D) et non pas sur le volume.
J'espère avoir été plus précis.
C'est déjà un peu plus clair.
Il manque toutefois la condition aux limites à la surface du conducteur. Comment est évacué la chaleur générée par effet Joule ? Uniquement par les extrémités ou également par la périphérie ? Et dans ce dernier cas vers quel milieu ?
Sinon, en toute rigueur, il faudrait travailler en abscisse curviligne le long du conducteur mais, si la courbe y = f(x) ne présente pas de rayons de courbure important, on peut faire l'approximation d'un conducteur parfaitement linéaire et de même longueur. Ce serait déjà une première simplification.
Désolé de ne pas parvenir à réunir toutes les infos en un seul jet.
Effectivement la chaleur générée par effet joule n'est dissipée QUE grâce aux refroidisseurs (T1 et T2) aux niveaux des sections.
Sinon, j'ai également résolu le problème 1D, dans le cas où en effet, on considère le fil plat! Ma solution est satisfaisante: en gros une courbe en cloche avec un max de température vers le milieu du fil (car T1 ~T2). Mais disons que je me demandais si c'était vraiment compliqué mathématiquement de résoudre cette équation à 2D connaissant la relation qui lie y à x. Mais là je pense que c'est plutot un problème de maths. Est il plus facile d'écrire le laplacien en curviligne ou en cartésien? etc...ceci dit, mon fil est assez plat: en effet, il s'agit d'un fil de connexion sur un transistor: il présente un petit bombage mais c'est léger. Et d'un point de vue thermique, le champ de température ne doit pas être très différent dans la géométrie plate ou réelle!
Ma question était donc plutôt mathématique que physique.
Pour en terminer avec cette discussion, je pense que de travailler en coordonnées curvilignes présente dans ce cas une difficulté sans commune mesure avec l'enjeu.
La physique, c'est modéliser et donc simplifier ...
Cordialement, F.
