Bonjour,
J'ai fait pas mal de recherche sur Internet, mais je n'ai trouvé ce que cherchais. Quelqu'un peut il me confirmer que le tenseur de Riemann d'un cône (de section circulaire si on veut pour plus de simplicité) est nul ?
Merci d'avance !
Cordialement
Bonjour,
Si on excepte la pointe et que l'on prend la métrique induite par le plongement qui consiste à voir le cone comme l'ensemble des droites de R^3 pacant par le cercle unité des (x,y,z) tels que z=1 et x²+y²=1, alors oui.
Merci à vous !
"Si on excepte la pointe et que l'on prend la métrique induite par le plongement qui consiste à voir le cône comme l'ensemble des droites de R^3 passant par l'origine et par le cercle unité des (x,y,z) tels que z=1 et x²+y²=1, alors oui."
Dernière modification par Amanuensis ; 16/02/2016 à 10h25.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Oui, les droites vectorielles bien sûr.
La nullité de la courbure est tres facile à démontrer, il est facile de construire deux champs de vecteurs sur le cone épointé ("radial" et "orthoradial") de norme 1 et partout orthogonnaux. Dans les bases qu'ils fournissent, la connexion associée a une matrice nulle (i.e s'exprime comme la differentielle des coordonées) et donc un carré nul.
Oui je crois que tout le monde avait complété de soi-même. Vous ne seriez pas enseignant à la retraite par hasard?
Si le sommet est ailleurs la courbure n'est pas nulle?
Ailleurs que où? Au sommet?
J'ai juste donné cette description parce qu'elle est commode. Mais fondamentalement, le cone sur X, c'est XxR/Xx{0}, si on enleve le point base ce sont deux copies de XxR, et la métrique naturelle sur l'espace tangent estoù le produit tensoriel est le produit tensoriel symétrique et g la métrique sur X.
Ce serait surtout different si la base du cone etait en dimension >1, comme une sphere par exemple.
ailleurs qu'en zéro. C'était une façon de dire que l'oubli signalé par Amanuensis n'était pas essentiel.
Je pense que ce qu'Amanuensis voulait dire est que le cone n'est pas l'ensemble de toutes les droites affines passant par le cercle "posé" en cote z=1, puisque ca ferait R^3 tout entier, mais celle qui passent par 0 et le cercle. L'ensemble des droites vectorielles.
mais est-ce qu'on est d'accord sur le fait qu'un cône ayant son sommet en un autre point que 0 et passant par le cercle que tu dis a aussi une courbure nulle?
Oui, tout à fait.
Vous pouvez fabriquer un cône ,ou plutôt un morceau de cône,en courbant une feuille de papier, donc ...
La curiosité est que l'on peut tracer sur le cône un triangle entourant la pointe et qui aura 3 angles droits . On peut couper la pointe et imaginer un raccordement lisse à un cylindre et ça ne change rien. (analogie lointaine avec un trou noir)
Oui, c'était bien ça. C'est 1) ce que je voulais dire, 2) le choix de l'origine respectait l'idée sous-entendue, qui était assez évidente.Envoyé par MiPaMa
(Perso j'ai du mal à voir R^3 comme l'espace vectoriel quand on plonge une surface dedans ; c'est automatiquement la variété affine qui me vient à l'esprit. Le point essentiel était ça, la distinction entre les deux types d'espace. Quelqu'un n'a-t-il pas écrit qu'il était important de savoir dans quel espace vit un objet?)
Dernière modification par Amanuensis ; 16/02/2016 à 18h12.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
