Bonjour tout le monde!
J'aimerais calculer le tenseur de Riemann explicitement mais le problème est qu'il a 4 indices donc a priori 256 composantes. J'aimerais savoir comment on reduit ce nombre et ensuite comment on le calcul. J'ai déja calculer tout les Christoffel de la metrique ainsi que le Ricci.
Merci d'avance pour vos réponse!
Comment on le calculer ?! Tu n'as pas son expression en fonction des symboles de Christoffel ?
Si mais il n'y a pas un mais on est pas obliger de calculer les 256 composantes? il me semble qu'il y en a une vingtaine qui soient independantes mais je n'arrive pas a les trouver..
Si tu as les symboles de Christoffel, tu peux en déduire quels seront les composantes non-nulles du tenseur de Riemann. Mais pour quel problème en particulier as-tu calcué les Christoffel et le Ricci ?
merci pour tes réponses. Mais ce que j'aimerais c'est démontrer qu'il y a 20 composantes indépendants dans le cas général. Tu aurais une idée?
C'est par des considérations de symétrie et d'antisymétrie, non?
Faut trouver la liste de ces symétries et les démontrer une par une, il me semble.
Oui c'est ce que j'ai fait mais il me semble qu'il y a une vingtaine de composantes indépendante et moi j'en trouve 53. Et je ne sait pas pourquoi
Il me semble qu'il y a tout ou partie de la réponse sur le Wiki francophone, http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_de_Riemann, section "symétries et identités".
Ils arrivent à n²(n² − 1) / 12, ce qui fait bien 20 pour n=4
Bonjours,
Est - ce que les propriétés de symétrie du tenseur de Riemann sont aussi valables(applicables) a ça forme contra-variante ?
merci
c'est aussi valable pour la forme contravariante:
La métrique est non-dégénérée, cela est équivalent au fait que monter ou descendre des indices est une opération inversible, donc si on considère un sous-espace de tenseurs avec 3 indices en bas et 1 en haut, alors l'image par l'opération "descendre un indice" est un sous-espace de même dimension.
Pour ce qui est du calcul précis, cf. http://math.stackexchange.com/questi...048769#1048769
