Aire moyenne du disque formé par l'intersection d'une sphère par un plan

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Comme indiqué dans l'intitulé, je cherche à calculer l'aire moyenne de l'intersection aléatoire d'une sphère par un plan. J'aurais besoin d'une confirmation, ou d'une correction. La figure est en attachement:
Pièce jointe 307016

Mettons une sphère de centre O(0,0) et de rayon . Un plan intersecte la sphère perpendiculairement à l'axe (Oz) de manière aléatoire, à une hauteur H. H est comprise entre -R et R et suit une loi uniforme de densité :



L'intersection du plan et de la sphère forme un disque de rayon R:



Je cherche la densité de probabilité de la variable R, comprise entre 0 et R_s. Pour ce faire, j'écris:



Ce qui me donne, en dérivant par rapport à r, la densité de probabilité de R, , égale à:



La surface du disque de rayon R a pour surface A:



Je cherche maintenant la densité de probabilité de A. J'écris:





Ce qui donne, en dérivant par rapport à a, la densité de probabilité:



L'aire moyenne <A> s'obtient par:



Est ce que cela paraît correct?

Merci d'avance.

Pièces jointes supprimées.
-----

[JPL]

Toutes les illustrations doivent être postées dans un format graphique (gif, png, jpg). Merci.

[invitee4ef379f]

Toutes mes excuses. Voici la pièce jointe dans un format correct:

[Resartus]

Il y a plus simple : puisque la probabilité selon H est constante, l'intégration de la surface quand h varie de -R à +R donne le volume 4.pi.R^3/3
En normalisant par l'étendue de variation de h (de -R à +R), on retrouve la valeur de la surface moyenne 2.pi.R^2/3

Je n'ai pas tout compris dans votre calcul, mais il doit manquer un facteur 2 quelque part...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Bonjour,

pourquoi pas avec un calcul de valeur moyenne direct?

L'aire moyenne est donnée par:

[invitee4ef379f]

En effet, merci beaucoup. Le facteur 2 manquant s'est perdu dans une des intégrations.

Bonne journée!