Rayon de convergence
Bonjour!
Pour une une série entière de terme général a_n*z^n (z appartient a C) de rayon de convergence R. Est ce que R=+l'infini veut dire que la série converge pour tout z appartenant a C, et si R=0 elle convergente uniquement pour z=0 ou nulle part?!!
Merci!
Bonjour.
Il est facile de voir qu'une série entière converge toujours pour z=0. R=0 veut dire qu'elle diverge pour tout z tel que |z|>0, donc ...
Dire que le rayon de convergence est infini veut dire par convention que quelle que soit la valeur de |z| il y a convergence, donc ...
Cordialement.
Oui d'après le lemme d'Abel la série sera normalement convergente sur tout compact du disque de convergence, et pour notre cas le singleton {0} donc pour z=0 la série converge.
Cordialement!!
Heu ... avant de parler de disque de convergence, on peut regarder la définition d'une série entière. Et voir élémentairement que toute série entière converge pour z=0. Peut-on parler vraiment de disque de convergence lorsque seul 0 assure la convergence simple ??? Oui, c'est un disque réduit à un point. mais une fois qu'on a dit ça, il n'y a rien de plus à dire, et parler de convergence normale n'apporte rien.
Reste simple.
Ok!! Pour z=0 la série sera convergente sans compliquer les choses!! Mais je sais que la convergence normale entraîne toutes les autres convergences!! Est-ce qu'elle a quelque chose spéciale de plus?!!
Ben ... c'est déjà pas mal ! Et son utilisation pour les séries entières montre sa forte utilité !
