salut à tous
j'aboutis à des choses compliquées
j'ai deux équations et trois coef a,b,c donc si je choisis a, alors b et c sont déterminés
cependant pour en tirer une relation entreet
quelqu'un aurait il déjà fait le calcul ?
Vinz
Bonjour,
Pour ne pas sortir du cadre de l'exercice, j'aimerai savoir :
1. à quel niveau d'études est-il proposé ?
2. quelle est la définition d'une parabole ?
3. qui sont
Bonjour,
Concernant uniquement l'objet du fil (lieu des sommets d'une parabole passant par deux points),
je constate avec ahurissement qu'il s'agit de l'exacte transposition du même problème que sur ce fil, sauf que par les 2 points fixés passe un cercle au lieu d'un parabole!!!
En effet, soient vos deux points P1(X1, Y1) et P2(X2, Y2).
Par une série de transformations linéaires (translations, rotations, dillatations), on peut se ramener dans un repère où les 2 points ont chacun les coordonnées (-1, 0) et (1, 0).
Le lieu des sommets de la parabole correspond donc à un segment sur l'axe vertical partant de l'origine, perpendiculaire à la droite joignant les 2 points, confondue ici avec l'axe des abscisses (lieu assimilé au paramètre q sur le fil en question)
De quelle expression quadratique voulez-vous partir? y=ax²+bx+c ? ou bien ky=(ax+b)²+c? Ou autre?
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 14h45.
salut ce n'est pas un exercice c'est pour mes créations graphiques personnelles
les deux points ne sont pas forcément à la même hauteur
je peux chercher tout seul mais si qqn a déjà progressé dans le calcul…
D'accord.
Mais cela ne répond pas à mes questions 2 et 3.
Tant que l'on n'a pas la même définition d'une parabole, de
La moitié du boulot est faite dans le fil en question : l'expression de tous les cercles passant par deux point fixes. Il suffit d'insérer l'expression d'une parabole au lieu d'un cercle.Envoyé par elodouwen
Ton principal boulot, c'est de transformer ces variables et lieux (translation, rotation, rétrécissement, etc dans le bon ordre) de manière à les exprimer dans ton repère bizarre où les deux points ne sont pas à la même hauteur ^^
X' = Ax + B, où A est une matrice produit des rotations et dilatation dans le bon ordre, et B le vecteur de translation.
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 19h00.
au cas où...
Si je ne me trompe pas : l'ensemble des paraboles passant par deux points donnés est un réseau linéaire, et l'ensemble des sommets doit être le plan tout entier, peut-être à une ou deux exceptions près.
Si l'on se restreint à des paraboles "d'axe vertical", c'est-à-dire aux graphes des fonctions polynomiales du second degré, on a alors les résultats suivants.
La droite définie par les deux points A et B a pour équation :
La parabole d'équation
c'est-à-dire si, et seulement si,
c'est-à-dire si, et seulement si :
ou encore, par identification des coefficients des deux expressions de
Le sommet de la parabole a pour coordonnées :
on peut calculer
pour obtenir l'expression de
Le lieu des sommets semble être, suivant la position des points A et B, une droite ou une hyperbole.
Ceux qui me connaissent savent que je suis friand des erreurs de calcul ; je recommande donc vivement de tout reprendre pour vérification.
n'est-il pas évident que le lieu est une droite pour les paraboles d'axe vertical dont vous parlez? (sur mon dessin, confondu avec l'axe y)e lieu des sommets semble être, suivant la position des points A et B, une droite ou une hyperbole.
Si je comprends bien la question posée, il s'agit de paraboles d'axe vertical. Ce n'est donc pas le même problème que celui résolu par geometrodynamics.
Pour simplifier, on peut étudier le cas où le premier point est 0, 0 et le second 1,1 (il suffira pour se ramener au cas général de dilater les axes)*
Dans ce cas, c vaut zero, b vaut 1-a, x vaut (a-1)/2a d'où a vaut 1/(1-2x) et y vaut X²/(2x-1) soit encore y=x/2+1/4+ 1/8/(2x-1)
C'est une courbe hyperbolique a deux asymptotes : une asymptote verticale qui passe par le point milieu x=1/2 y=1/2, et l'asymptote oblique y = x/2+1/4 qui passe par ce point milieu
* et si les points ont la meme ordonnée, le lieu est alors simplement la médiatrice
Dernière modification par Resartus ; 28/02/2016 à 20h38.
Non, parce que les transformations que vous utilisez pour reformuler le problème ne conservent pas le sommet de la parabole...
Voici une figure avec quelques paraboles passant par les points A et B.
Les sommets S sont repérés en rouge.
Un autre argument :
– il existe une parabole de sommet A passant par B ;
– il existe une parabole de sommet B passant par A ;
donc le lieu cherché passe par A et B : si c'était une droite, ce serait la droite (AB).
Or, excepté les deux cas particuliers signalés ci-dessus, le sommet S ne peut pas être aligné avec A et B…
J'avais confondu "d'axe vertical" et "d'axe perpendiculaire au segment AB"...
Sinon joli pour l'argument ^^entièrement convaincu!
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 28/02/2016 à 21h39.
salut effectivement j'abvais mal formulé : je cherche les paraboles d'axe vertical passant par deux points (u,U) et (v,V)
les autres notations sont usuelles : a,b,c
je suis parti finalement de l'expression canonique
j'aboutis à :
soit :
ce qui, a un changement de repère près, est de la forme :
en simplifiatn je trouve avec
si quelqu'un arrive à simplifier plus...
Retourner voir ma réponse dans ce message.
Avec vos notations, le plus simple pour exprimer que la parabole passe par deux points n'est pas d'utiliser la forme canonique du trinôme, mais décomposer en deux termes :
Le terme
Le terme
On voit que la famille de parabole est à un degré de liberté, paramétré par le coefficient directeur
On obtient, dans un premier temps, une représentation paramétrique du lieu des sommets en fonction de
On peut ensuite éliminer le paramètre pour obtenir une équation cartésienne et reconnaître une hyperbole, ou une droite lorsque les points ont même ordonnée.
