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Droite passant par un point et deux droites donnés



  1. #1
    The_Anonymous

    Question Droite passant par un point et deux droites donnés

    Bonjour à tous! =D

    J'ai un problème de géométrie analytique que je n'arrive pas à résoudre, je ne trouve pas la méthode pour y arriver.

    Le voici :

    On se donne un point P(0;-1;2) et deux droites sous forme paramétrique :

    et .

    L'exercice consiste à trouver l'équation paramétrique d'une droite passant par P et intersectant ces deux droites, puis à déterminer les points d'intersection.

    J'ai déjà remarqué que les deux droites données sont gauches (aucun point d'intersection et vecteurs directeurs non-colinéaires).

    Je pense pouvoir trouvé facilement les points d'intersection une fois que j'aurai l'équation de la droite recherchée, mais hélas, je ne vois pas comment procéder afin d'obtenir celle-ci.

    Je ne sais pas s'il faut poser un système d'équation (mais dans ce cas, lequel? Car j'ai déjà essayé de poser certains systèmes, mais sans réussite), ou s'il faut résoudre géométriquement à l'aide des connaissances sur les vecteurs ( -> ? ).

    Merci d'avance pour votre aide !

    Cordialement,

    Brazeor

    -----

    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/05/2013 à 11h24.

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  3. #2
    gg0

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Bonjour.

    Parfois, un peu de réflexion purement géométrique peut être utile. Je note D et D' les deux droites, et D1 la droite à déterminer. Le plan défini par D et D1 va contenir des points intéressants, et avec deux de ces points tu auras D1.

    Cordialement.

  4. #3
    The_Anonymous

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Merci de votre réponse

    Cependant, j'essaie de visualiser vos conseils (ce qui est très dur!), il y a un truc que je ne comprends pas : Quels sont les points intéressants? Je vois à peu près le plan que cela détermine, donc la droite d'intersection entre ce plan et la deuxième droite, mais comment approche-t-on ce raisonnement? Il faut bien poser une équation algébrique? (J'ai l'impression de vouloir trop concret).

    J'aurais un début de raisonnement : Je détermine l'équation du plan passant par P et par la prenière droite : Je calcule la projection du point P sur la première droite, je calcule ainsi l'équation avec le vecteur directeur donné et avec le vecteur constitué du point P et de sa projection.

    Ensuite je calcule l'intersection de ce plan obtenu avec la deuxième droite, ainsi je devrai trouver une droite correspondant aux consignes.

    Mon raisonnement est correct? Y a-t-il plus simple?

    Merci d'avance

  5. #4
    The_Anonymous

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Sauf que je me retrouve bien embêté, car je ne peux pas calculer les coordonnées de la projection du point P sur la première droite...

    Mais comment faire alors?

  6. #5
    gg0

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Ok !

    ça correspond à ce que je sous-entendais : les points utiles sont P et le point d'intersection du plan avec l'autre droite. Donc tout revient à déterminer l'équation du plan contenant D et P. Ce qui est facile : On connaît des points (P et ceux de D), trois non alignés suffisent et comme P n'est pas sur la droite ...
    Je ne vois aucun intérêt à aller chercher un projeté alors que l'équation paramétrique de D donne une infinité de points.

    Cordialement.

    NB : Un peu de dessin dans l'espace aide bien !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    The_Anonymous

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Tout à fait! C'est exactement ce à quoi je pensais quand je vous voyais répondre x)

    J'ai ainsi déterminé l'équation du plan passant par P et contenant D1 ( et donc D ), j'ai obtenu (pitié, dites-moi que je n'ai pas fait d'erreur de calcul) y+z-1=0.

    Mais maintenant, je ne suis plus très sûr : je pose



    (Au cas où, la première ligne est l'équation du plan, les trois suivantes sont ligne par ligne l'équation de la deuxième droite).

    J'obitens en substituant dans l'équation du plan .

    Et c'est là où je ne comprends pas la singification du résultat :

    On a donc en remplacant dans l'équation de la deuxième droite .

    Mais qu'est-ce ? Le point M(0;1;0) ? Un vecteur ? Je m'embrouille...

    P.S. : J'ai fait un dessin en projection cavalière, mais j'ai du mal à voir en 3D...
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/05/2013 à 12h47.

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  10. #7
    gg0

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    je ne suis plus très sûr : je pose ...
    Soit tu sais ce que tu fais quand tu "poses", soit il faut revenir à la question.
    Ne jamais poser un calcul sans savoir pourquoi on écrit cela.

    Sinon, le plan d'équation y+z-1=0 contient D et P (facile à vérifier !!!). Il est d'ailleurs parallèle à l'axe des x.

    Cordialement.

  11. #8
    The_Anonymous

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Oui, effectivement, la vérification est facile, désolé

    Et bien d'un ton clair et affirmé j'assure que je sais ce que je faisais quand j'ai posé le système d'équation ! =p

    Sauf erreur, le point d'intersection entre le plan et la deuxième droite est le point M(0;1;0).

    On a donc l'équation de la droite recherchée .

    Est-ce correct ?

  12. #9
    gg0

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    ça m'en a tout l'air

    Vérifie quand même que cette droite coupe D.

    Cordialement.

  13. #10
    The_Anonymous

    Re : Droite passant par un point et deux droites donnés

    Merci ^^

    J'ai calculé les points d'intersection, et ça joue

    Parfait, merci beaucoup

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