Droite passant par un point et deux droites donnés

[The_Anonymous]

Bonjour à tous! =D

J'ai un problème de géométrie analytique que je n'arrive pas à résoudre, je ne trouve pas la méthode pour y arriver.

Le voici :

On se donne un point P(0;-1;2) et deux droites sous forme paramétrique :

et .

L'exercice consiste à trouver l'équation paramétrique d'une droite passant par P et intersectant ces deux droites, puis à déterminer les points d'intersection.

J'ai déjà remarqué que les deux droites données sont gauches (aucun point d'intersection et vecteurs directeurs non-colinéaires).

Je pense pouvoir trouvé facilement les points d'intersection une fois que j'aurai l'équation de la droite recherchée, mais hélas, je ne vois pas comment procéder afin d'obtenir celle-ci.

Je ne sais pas s'il faut poser un système d'équation (mais dans ce cas, lequel? Car j'ai déjà essayé de poser certains systèmes, mais sans réussite), ou s'il faut résoudre géométriquement à l'aide des connaissances sur les vecteurs ( -> ? ).

Merci d'avance pour votre aide !

Cordialement,

Brazeor
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[gg0]

Bonjour.

Parfois, un peu de réflexion purement géométrique peut être utile. Je note D et D' les deux droites, et D1 la droite à déterminer. Le plan défini par D et D1 va contenir des points intéressants, et avec deux de ces points tu auras D1.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Merci de votre réponse

Cependant, j'essaie de visualiser vos conseils (ce qui est très dur!), il y a un truc que je ne comprends pas : Quels sont les points intéressants? Je vois à peu près le plan que cela détermine, donc la droite d'intersection entre ce plan et la deuxième droite, mais comment approche-t-on ce raisonnement? Il faut bien poser une équation algébrique? (J'ai l'impression de vouloir trop concret).

J'aurais un début de raisonnement : Je détermine l'équation du plan passant par P et par la prenière droite : Je calcule la projection du point P sur la première droite, je calcule ainsi l'équation avec le vecteur directeur donné et avec le vecteur constitué du point P et de sa projection.

Ensuite je calcule l'intersection de ce plan obtenu avec la deuxième droite, ainsi je devrai trouver une droite correspondant aux consignes.

Mon raisonnement est correct? Y a-t-il plus simple?

Merci d'avance

[The_Anonymous]

Sauf que je me retrouve bien embêté, car je ne peux pas calculer les coordonnées de la projection du point P sur la première droite...

Mais comment faire alors?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok !

ça correspond à ce que je sous-entendais : les points utiles sont P et le point d'intersection du plan avec l'autre droite. Donc tout revient à déterminer l'équation du plan contenant D et P. Ce qui est facile : On connaît des points (P et ceux de D), trois non alignés suffisent et comme P n'est pas sur la droite ...
Je ne vois aucun intérêt à aller chercher un projeté alors que l'équation paramétrique de D donne une infinité de points.

Cordialement.

NB : Un peu de dessin dans l'espace aide bien !

[The_Anonymous]

Tout à fait! C'est exactement ce à quoi je pensais quand je vous voyais répondre x)

J'ai ainsi déterminé l'équation du plan passant par P et contenant D1 ( et donc D ), j'ai obtenu (pitié, dites-moi que je n'ai pas fait d'erreur de calcul) y+z-1=0.

Mais maintenant, je ne suis plus très sûr : je pose



(Au cas où, la première ligne est l'équation du plan, les trois suivantes sont ligne par ligne l'équation de la deuxième droite).

J'obitens en substituant dans l'équation du plan .

Et c'est là où je ne comprends pas la singification du résultat :

On a donc en remplacant dans l'équation de la deuxième droite .

Mais qu'est-ce ? Le point M(0;1;0) ? Un vecteur ? Je m'embrouille...

P.S. : J'ai fait un dessin en projection cavalière, mais j'ai du mal à voir en 3D...

[gg0]

je ne suis plus très sûr : je pose ...

Soit tu sais ce que tu fais quand tu "poses", soit il faut revenir à la question.
Ne jamais poser un calcul sans savoir pourquoi on écrit cela.

Sinon, le plan d'équation y+z-1=0 contient D et P (facile à vérifier !!!). Il est d'ailleurs parallèle à l'axe des x.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Oui, effectivement, la vérification est facile, désolé

Et bien d'un ton clair et affirmé j'assure que je sais ce que je faisais quand j'ai posé le système d'équation ! =p

Sauf erreur, le point d'intersection entre le plan et la deuxième droite est le point M(0;1;0).

On a donc l'équation de la droite recherchée .

Est-ce correct ?

[gg0]

ça m'en a tout l'air

Vérifie quand même que cette droite coupe D.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Merci ^^

J'ai calculé les points d'intersection, et ça joue

Parfait, merci beaucoup