Continuité de fonctions sur un EVN

[invite9781bd99]

Bonjour,

J'ai été en train de relire mon cours sur les evn, et je me rends compte que j'ai du mal me remettre dans le bain.
J'ai donc deux petites questions à ce sujet :

Etant donné un espace métrique ou un evn, comment montrer que l'application "distance" ( ou ) est une fonction continue de deux variables (j'arrive à le montrer pour une variable, en fixant la seconde, mais bizarrement je n'y arrive pas pour deux variables, alors que je pense, ça doit être simple).

Une équation différentielle sur une evn de dimension finie, s'écrit : où sont des applications continues. J'ai regardé les différents théorèmes que j'avais à disposition, mais je n'arrive pas à montrer que soit une application continue (je croyais au début que c'était la composée d'application continue mais en fait non).

Pouvez-vous m'aider ? Merci.
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[invite51d17075]

bonjour ( petit matin )
pourquoi faire intervenir t ?
il me semble qu'on doit s'en sortir avec les seules propriétés définissant une distance:
d(a,b)=d(b,a)
d(a,b)=0 <=> a=b et surtout
d(a,c) <= d(a,b)+d(b,c)

[invite51d17075]

en fait non,
je pense qu'une distance( métrique ) qcq n'est pas forcement continue.
par exemple et dans R , d(x,y)=(E(x)-E(y)) est une distance mais discontinue.

[gg0]

Bonjour Livetrack.

Dans un espace métrique, x-y n'a pas de sens, puisqu'il n'y a qu'une topologie, aucune opération. Mais en fait, tu veux savoir pourquoi l'application de ExE dans R : (x,y)--> d(x,y) est continue. C'est simplement que la topologie de E est construite sur d.

Soit O un ouvert de R. Pour chaque point a de O, on choisit une boule ouverte de R contenant a et contenue dans O; est un ouvert de E : l'ensemble vide si , une boule ouverte si , une boule ouverte moins une boule fermée contenue dans la première si c>0.
Ensuite, on voit que

est une réunion d'ouverts, donc un ouvert.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

joli,
en plus, j'ai vu , mais trop tard que mon exemple avec E(x) n'est pas valable.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Je trouve les réponses précédentes oiseuses à dire le moins.

Pour montrer que d:XxX->R est continue, il faut d'abord que tu "choisisses" une disance sur XxX, usuellement (et pour de tres bonnes raisons, que je n'ai pas le temps de detailler) on choisit sur le produit XxY (où X et Y sont deux espaces métriques) la distance sup(d_X, d_Y). Mais tu peux tres bien choisir d_X+d_Y ou meme racine p-ième de d_X^p+d_Y^p, je te laisse voir pourquoi ces distances sont métriquement équivalentes (c'est le meme calcul que sur RxR).
Pour le choix de n'importe laquelle de ces distances, alors d:XxX->R est bien sur continue (vois tu pourquoi? La encore il suffit de faire le calcul dans RxR).

Pour ta seconde question, c'est bien une histoire de composition, l'application End(E)xE->E, donnée par (a,x)->a.x est continue, car bilinéaire et |a.x| est majoré par |a|.|x| (pour la norme d'opérateur sur End)
Donc tu peux ecrire t->a(t)y(t) comme la composée de I->End(E)xE->E, la premiere fleche est continue parce que I->End(E) et I->E le sont, et la seconde l'est par la phrase precedente.

Bien sur tout ceci peut aussi se faire au niveau topologique, ou normé.

[gg0]

Effectivement,

Ce que j'ai fait n'a pas de sens, sauf à interpréter f comme la distance à x fixé, ce qui est ce que Livetrack avait fait.

Désolé !

[invite9781bd99]

Merci pour toutes ces réponses.

"Pour montrer que d:XxX->R est continue, il faut d'abord que tu "choisisses" une disance sur XxX, usuellement (et pour de tres bonnes raisons, que je n'ai pas le temps de detailler) on choisit sur le produit XxY (où X et Y sont deux espaces métriques) la distance sup(d_X, d_Y). Mais tu peux tres bien choisir d_X+d_Y ou meme racine p-ième de d_X^p+d_Y^p, je te laisse voir pourquoi ces distances sont métriquement équivalentes (c'est le meme calcul que sur RxR).
Pour le choix de n'importe laquelle de ces distances, alors d:XxX->R est bien sur continue (vois tu pourquoi? La encore il suffit de faire le calcul dans RxR)."

J'avais complètement oublié que l'on prenait le sup des distances pour les produits cartésiens d'espaces.
Du coup, si on fixe (x0,y0) dans XxY, alors pour tout (x,y) on a :


je l'ai fait sur des espaces normés, cela devrait être transposables pour les espaces métriques.

"Donc tu peux ecrire t->a(t)y(t) comme la composée de I->End(E)xE->E, la premiere fleche est continue parce que I->End(E) et I->E le sont, et la seconde l'est par la phrase precedente."
Merci, j'avais aussi oublié cette propriété sur la bilinéarité.
Il faut vraiment que je reprenne l'habitude de travailler sur les espaces métriques et normés.

J'ai une dernière question : autant sur l'espace des fonctions bornées, munit de la norme infini, on arrive, plus ou moins à visualiser ce que signifie qu'une "fonction tend vers une autre" en traçant les graphes ; autant, est-il possible de visualiser le fait qu'une "application linéaire tend vers une autre" pour la norme triple ? (histoire que j'appréhende mieux cet espace).

Merci ansset et gg0 pour vos réponses également

[invite47ecce17]

Tu peux aussi visualiser ce que veux dire "tendre vers" grace au graphe. Une application linéaire est connue si tu la connais sur une boule ouverte (non vide bien sur), et les applications linéaires (continues) sont bornées sur une boule ouverte, de sorte à ce que tu peux regarder la portion de leur graphe restreint à une boule ouverte, et la convergence est bien celle que tu attends.
Néanmoins, ca n'est pas qqch de tres interessant.

Une autre manière sans doute plus interessantes, et de remarquer que si ton corps de base est complet (e.g R ou C, mais pas Q) alors si tu choisis une base de l'espace des applications linéaires entre deux espace normés de dimensions finies, dire qu'une suite d'applications tend vers une autre ca veut dire que les coefficients de la décomposition tendent tous vers les coefficients de l'application limite. En terme encore plus concret, c'est la convergence "case à case" des matrices des applications correspondante, une fois des bases de tes espaces de depart et d'arrivée choisies.