Convolution

**titi07** · 29/03/2016, 05h13

Bonjour,
J'aurai besoin de savoir si on peut définir le produit de convolution sur $\text{[math]}$ de deux fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ par l'expression $\text{[math]}$
et si c'est le cas, ou pourrai-je lire en details cela?
Merci à l'avance

Cordialement.

**gg0** · 29/03/2016, 10h19

Bonjour.

As-tu vu que y ne peut pas dépasser la valeur x ? C'est fait d'une certaine façon pour les fonctions causales (nulles pour x<0), dont le produit de convolution, s'il existe est causal et défini, pour x positif par forme modifiée de ta formule (intégrale de 0 à x).

Cordialement.

**titi07** · 29/03/2016, 18h52

Bonjour,
Merci pour votre réponse!
Oui bien sur "y" ne doit pas dépasser "x" vu que $\text{[math]}$ est défini sur $\text{[math]}$ , donc ce produit est définie seulement pour les fonctions qui sont prolongeable par 0 sur tout $\text{[math]}$ ?
une autre question, peut-on convoler une fonction définie sur $\text{[math]}$ avec une autre définie sur tout $\text{[math]}$ ?
Connaissez-vous des références sur ce sujet, je voudrais savoir plus sur le sujet?
Cordialement.

**gg0** · 29/03/2016, 18h59

En fait, tout dépend de ce que tu appelles produit de convolution. On peut parfaitement le définir pour des fonctions définies seulement sur R+.

Cordialement.

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**titi07** · 29/03/2016, 19h26

Mais comment on le définit?
et aussi, peut-on convoler une fonction définie sur R_+ avec une autre définie sur tout R?
Cordialement.

**gg0** · 29/03/2016, 23h26

Cherche un peu ... l'intégrale que tu proposais n'existant pas, regarde comment la modifier pour que ça ait un sens.

**titi07** · 29/03/2016, 23h50

On peut prendre $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ?

invitecbade190 · 30/03/2016, 00h11

Salut :

Sauf erreur de ma part :
$\text{[math]}$ .
Mais, il faudra voir si : $\text{[math]}$ . ( Ce qui est évident il me semble )
J'espère que je n'ai pas dit des bêtises.

Cordialement.

invite57a1e779 · 30/03/2016, 08h26

Envoyé par chentouf

$\text{[math]}$

Du grand n'importe quoi, les fonctions intégrées ne sont pas définies...

invite9dc7b526 · 30/03/2016, 09h26

Envoyé par God's Breath

Du grand n'importe quoi, les fonctions intégrées ne sont pas définies...

Ca se fait pourtant d'écrire l'intégrale de fonctions non définies sur tout le support d'intégration. Par exemple la distance de Kullback-Leibler entre deux densités f et g est définie comme l'intégrale de log(f/g)f et rien n'interdit que f s'annule sur une partie de R de mesure positive. C'est par convention l'intégrale sur le support de f.

**gg0** · 30/03/2016, 09h55

Envoyé par titi07

On peut prendre $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ?

Oui, c'est ça.
Tu peux oublier ce que raconte Chentouf, le problème essentiel étant que dans ton cas, f(x-y) n'est pas défini sur tout l'intervalle ]x,+oo[.

Et pourquoi veux-tu convoler " une fonction définie sur R_+ avec une autre définie sur tout R " ? Tu vas perdre certaines propriétés bien pratiques, comme la commutativité.

Cordialement.

**gg0** · 30/03/2016, 09h58

Minushabens,

tu devrais regarder vraiment le sujet, et répondre à Titi07 plutôt que de commencer une polémique inutile (la notation dans ton cas est un abus d'écriture, si je comprends bien; Chentouf, lui, est familier des erreurs d'écriture).

Cordialement.

invite57a1e779 · 30/03/2016, 09h58

Dans le cas de la distance de Kullback-Leibler, les fonctions sont partout définies, éventuellement de valeur infinie, ce qui n'est pas le cas lorsque l'on dit que f et g sont L¹ sur R₊.

invitecbade190 · 30/03/2016, 13h36

Je n'ai pas compris où est l'erreur. Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer où est l'erreur que je fais. Merci d'avance.

**gg0** · 30/03/2016, 14h07

Tu répètes bêtement l'erreur signalée dès le début à Titi07 : Tu écris une intégrale qui n'existe pas puisque y-->f(x-y) n'est pas définie sur [0,+oo[. Puis tu fais pire : Tu écris même g(y) pour y<0 alors que g n'est défini que pour y positif.

Avant d'écrire, commence à te demander de quoi tu parles. Ce que sont les notations que tu utilises. Je l'ai dit à Pablo il y a plus de 10 ans.

invitecbade190 · 30/03/2016, 14h21

Ah oui, c'est vrai, merci beaucoup.

invitecbade190 · 30/03/2016, 16h23

Salut gg0 :

Envoyé par gg0

Tu écris une intégrale qui n'existe pas puisque y-->f(x-y) n'est pas définie sur [0,+oo[. Puis tu fais pire : Tu écris même g(y) pour y<0 alors que g n'est défini que pour y positif.

Voici l'idée que j'avais envie d'exprimer, mais j'ai échoué au début :
$\text{[math]}$ .
et : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les prolongements mesurables de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ respectivement sur tout $\text{[math]}$ . Qu'est ce que vous en pensez ?
AMicalement.

**gg0** · 30/03/2016, 17h47

Que déjà la première intégrale n'a pas de sens !!!!

**titi07** · 31/03/2016, 01h18

Envoyé par gg0

Oui, c'est ça.
Tu peux oublier ce que raconte Chentouf, le problème essentiel étant que dans ton cas, f(x-y) n'est pas défini sur tout l'intervalle ]x,+oo[.

Et pourquoi veux-tu convoler " une fonction définie sur R_+ avec une autre définie sur tout R " ? Tu vas perdre certaines propriétés bien pratiques, comme la commutativité.

Cordialement.

vous voulez dire que le fait de convoler une fonction définie sur R_+ avec une autre définie sur tout R, n'est pas intéressant, même si on utilise cette définition (intégrale de "0" à "x") mais je ne vois pas pourquoi on perdra la commutativité?
Cordialement.

azizovsky · 31/03/2016, 11h25

c'est simple à voir 'géométriquement' par un exemple: $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on'a :

$\text{[math]}$ la fonction $\text{[math]}$ n'est défini seulement si $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ parcoure $\text{[math]}$ (t ne dépend pas de x dans les données..). (si $\text{[math]}$ est ce que

$\text{[math]}$ à un sens si $\text{[math]}$ .

**gg0** · 31/03/2016, 11h48

Envoyé par titi07

vous voulez dire que le fait de convoler une fonction définie sur R_+ avec une autre définie sur tout R, n'est pas intéressant, même si on utilise cette définition (intégrale de "0" à "x") mais je ne vois pas pourquoi on perdra la commutativité?
Cordialement.

Ben si f n'est définie que sur R+ et g sur R, tu définis f*g; mais pas g*f puisque f n'est pas définie sur R.

Comme tu ne donnes pas de raison à tes questions, qui se traitent facilement en choisissant bien les ensembles de fonctions pour lesquels on définit un produit de convolution, je ne vois pas de raison de continuer.

**titi07** · 31/03/2016, 12h13

Bonjour,
La raison pour laquelle je me pose cette question est la suivante:
J'ai une certaine fonction "f" définie sur R_+ qu'on appelle fonction asymptotiquement presque périodique, et je voudrais savoir si cet espace de fonctions est stable par convolution avec les fonctions L^1.
Cordialement.

**gg0** · 31/03/2016, 13h28

Ok,

mais quelle convolution ? Car tu te poses une question sur la stabilité par une opération, donc tu connais cette opération, à priori. Sinon, ta question n'a pas de sens. D'ailleurs, "les fonctions L^1" ça ne veut rien dire. les fonctions L1 sur quoi ? Si c'est sur R, pourquoi ? Et quel intérêt, puisque ce sera artificiel, on ne va pas rester dans un même ensemble de fonctions. Alors qu'on peut facilement faire une convolution avec les fonctions L1 sur R+, avec la formule que tu as fini par obtenir.

Finalement, tu n'as pas encore de vraie question, qui puisse s'exprimer de façon cohérente. Donc il va falloir repartir encore un peu en arrière pour te poser la question : Qu'est-ce que je cherche ?

Cordialement.

invitecbade190 · 31/03/2016, 13h36

Salut gg0 :

Et si on prend comme définition de la convolution sur $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ .
Est ce valable ?

Cordialement.

**gg0** · 31/03/2016, 15h33

Pour la convolution de deux fonctions définies sur R+, Titi07 a donné une définition. Pas besoin de compliquer.

Convolution

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