Inverse d'une application linéaire

[Desespoiralgebrique]

Bonsoir,
J'ai un exercice dans lequel je dois déterminer l'inverse d'une application linéaire et je n'y arrive pas, l'énoncé est le suivant:
Soit E un R-ev et f un endomorphisme de E.
On pose g=-f+a idE, où a est un réel donné différent de zéro , idE désigne l'application identité de E.
Soit E1=Ker g et E2=Img.On suppose qu'il existe un réel b non nul tq gof=bg.
Tout d'abord l'on nous demande d'exprimer fof comme combinaison linéaire de f & idE(fait), puis de déterminer le noyau de f(fait aussi), puis prouver que f est un automorphisme de E & exprimer l'inverse f-1 en fonction de f et de l'application idE.
C'est sur cette dernière question que je bloque, pourriez-vous me venir en aide?
Merci d'avance.
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[invitecbade190]

Salut :
Sauf erreur de ma part :
Alors, j'ai trouvé : . Tu as trouvé le même résultat que moi ?. ( Juste pour voir si peut être quelqu'un d'entre nous s'est trompé ).
Si c'est correcte, alors, cette formule se met sous la forme : .
A partir de là, tu peux conclure tout seul. Je te laisse faire.
Cordialement.

[Desespoiralgebrique]

J'ai plutôt trouvé f²=(a+b)f-abid, je ne vois pas où je pourrais m'être trompée :/.
si l'on suit votre résultat l'inverse est ((1/ab)*(f+(a-b)id)) c'est bien cela? y'a t il une loi pour l'avoir?(en plus de fo(f-1)=(f-1)of=id?)

[invitecbade190]

Oui, c'est ça. Je n'ai pas saisi le sens de la suite de ta question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Desespoiralgebrique]

Je ne sais pas obtenir l'inverse, avez-vous tâtonné pour l'avoir?Quelles sont les étapes suite auxquelles vous l'avez obtenu?

[invitecbade190]

Puisque : , alors l'inverse est : , et il est unique.

[Desespoiralgebrique]

D'accord merci .
Je n'ai pas su aussi répondre à l'automorphisme, comment prouver que imf=E?(j'ai essayé de prouver que Imfof=imf car on a plus d'informations sur imfof mais cela ne m'a mené à rien .)

[invite57a1e779]

C'est du calcul algébrique élémentaire ; est combinaison linéaire de et de :



et comme :

on obtient :

et si l'on peut multiplier cette égalité par , c'est-à-dire si est non nul, on obtient une relation de la forme :

qui prouve que est inversible et fournit la valeur de .

Comme est un automorphisme, il est surjectif et .

[invitecbade190]

Non, pas avec ça, un automorphisme est un endomorphisme + un isomorphisme. On ne montre pas que c'est un endomorphisme car c'est évident, il reste à montrer que c'est un isomorphisme, c'est à dire une bijection, c'est la chose qu'on a fait dans ce qui précède. Par définition, est bijective si et seulement si telle que : , et l'inverse qui est unique est .
Cordialement.

[Desespoiralgebrique]

Merci pour l'explication God's Breath.
Chentouf:j'ai déjà prouvé qu'il était injectif plus haut donc j'avais pensé à la surjection.Mais ta proposition n'est pas contradictoire avec le fait qu'on demande de prouver d'abord que c'est un automorphisme puis d'exprimer f-1 en fonction de f et d'idE?(Ou bien cela revient à trouver l'unique inverse, dire qu'elle est bijective, pour le déclarer comme tel alors qu'il est déjà en fonction de f et d'idE?)

[invitecbade190]

Ou bien cela revient à trouver l'unique inverse, dire qu'elle est bijective, pour le déclarer comme tel alors qu'il est déjà en fonction de f et d'idE?

Pour montrer que c'est une bijection, il suffit de trouver tel que : .
Ici, on ne peut pas établir la surjectivité de à l'aide de la formule : , car on ne connait pas l'expression de pour la calculer. si tu veux appliquer le théorème du rang, on ne sait pas non plus quelle est la dimension de . est général, et ce sera impossible si est de dimension infinie.

[Desespoiralgebrique]

D'accord, merci infiniment pour votre aide!

[invite57a1e779]

Ici, on ne peut pas établir la surjectivité de à l'aide de la formule : , car on ne connait pas l'expression de pour la calculer.

On n'en a pas besoin, avec les notations de mon message #8, pour tout :



et là encore, si est non nul, on conclut que appartient à .

[invitecbade190]

Oui, c'est vrai, tu as raison. ça peut intéresser Desespoiralgebrique dans sa recherche. Bravo.
C'est juste l’interprétation du fait qu'il existe tel que :