Noyau, image, inverse d'une application linéaire

[invitefcde0f17]

Bonjour!

J'ai des soucis pour résoudre l'exercice suivant:

Soit P2 = R2 (X) l'espace vectoriel des polynômes de degré plus petit ou égal à 2 et f: P2 -> P2, P -> P', l'application qui associe à chaque polynôme sa dérivée.

(a) déterminez ker f
(b) déterminez im f
(c) déterminez, si f possède une inverse

Alors j'ai commencé par le (a):
Il existe un triplet unique tel que (a,b,c) de R2, et pour tout réel x, on a P(x) = ax^2 + bx + c
P appartient à Ker, si f(P) = 0 et donc P'(x)=0, 2ax + b = 0

Voilà et après je sais pas quoi faire. En fait j'ai pas d'habitude de déterminer des noyaux de polynômes... Et je serai pas étonné si le prof avait omis de nous parler de choses nécessaires pour trouver le noyau, comme par exemple la base canonique, enfin je sais pas s'il faut utiliser ça. Et puis j'ai laissé tomber les points b et c vu que je bloque déjà en a. Est-ce qu'il y aurait une bonne âme qui aurait la patience de m'expliquer gentiment et COMPREHENSIBLEMENT comment je dois procéder?
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[invite7d367980]

Comme base de P2, prend (1,X,X^2), maintenant, calcule f(1), f(X) et f(X^2).

[invitefcde0f17]

Est-ce que le noyau pour le (a) serait-il: Ker=( c tel que c appartient à R) = <(0;0;1)> ?

[invite7d367980]

Ker=(c tel que c appartient à R) ne veut rien dire

Pour ton résultat, si c'est (0,0,1) dans la base (1,X,X^2), c'est faux. Ton résultat signifierait que tous les polynômes dont la dérivée est nulle sont de la forme aX^2...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefcde0f17]

Euh non, c'était (0,0,1) dans la base (x^2, x, 1)....

[invite47ecce17]

Bonjour,
Pourquoi t'emebeter avec une base ici? Tu peux tout traiter directement sans choisir de base.
Comme tu l'as remarqué f(P)=0 ssi P est une constante. Le noyau de f c'est donc le sous espace des polynomes constants.
De meme en calculant f(P) tu vois que l'image c'est l'espace des polynomes de degré au plus 1.

[invitefcde0f17]

Oui, alors je comprends tout à fait les réponses. Le noyau est l'ensemble de polynômes constant et l'image sont les polynômes du degré au plus 1. Mon soucis c'est la notation... Comment je dois noter ça? ^^'

[gg0]

Comme tu veux. Tu peux t'inspirer de la façon dont P2 est donné dans ton énoncé; de ce que ton prof écrit en cours; de ce que tu vois écrit dans les livres; ...

Cordialement.

[invite7ee85d66]

salut!
As tu fais les matrices? j'ai un truk à te proposer:

essaye de trouver la matrice de l'application: tu fais f(base canonique de R2[X]) avec base canonique=(1,X,X^2)
donc:





f(1) c'est la première colonne de ta matrice, f(X) la deuxième, f(X^2) la troisième que tu va exprimer dans la base canonique de R2[X]
( 1(premiere ligne) ,X(deuxieme ligne), X^2(troisieme ligne) )

tu obtiens la matrice de ton application:


tu peux donc noter l'image sous forme de vect:



tu peux bien sur virer le premier vecteur ce qui te donne:



voila!

[PlaneteF]

Bonjour,

Il existe un triplet unique tel que (a,b,c) de R2, et pour tout réel x, on a P(x) = ax^2 + bx + c
P appartient à Ker, si f(P) = 0 et donc P'(x)=0, 2ax + b = 0

Une remarque dans ce que tu écris (en citation) :

Attention à ne pas confondre polynôme formel (ce dont il s'agit ici) et fonction polynomiale. Alors certes à un polynôme formel on peut lui associer une fonction polynomiale et passer de l'un à l'autre avec précautions si besoin, ... mais ici à la base on ne parle pas de cela et il n'est pas question de réels , mais de qui n'est pas un nombre mais une simple notation. De la même manière il n'est pas question de mais de tout court.

Pour plus de détails tu peux par exemple regarder ces liens :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_formel

http://bkristof.free.fr/coursexercic...0Polynomes.pdf


Cordialement

[invitefcde0f17]

D'accord, merci beaucoup!

Pour la question (c), où il faut déterminer si f possède un inverse, j'ai pas encore tout à fait compris... Je sais que pour être inversible, une fonction doit être bijective, c'est-à-dire qu'elle doit être injective et surjective. Est-ce que je peux dire que f n'est pas inversible car elle est pas injective vu que : Ker(f) n'est pas égal à {0}?

De plus, j'ai encore une question:

Soit IR[X] l'espace vectoriel des polynômes, t : IR[X] ->IR[X], P -> P'
Existe-t-il une application linéaire z appartient à L(IR[X]) avec t "rond" z = id IR[X] ? Si oui, a-t-on aussi z "rond" t = id IR[X]?

Voilà, alors je sais que je dois démontrer que (t "rond" z)(P)=P mais aucune idée de comment faire.... Je comprends pas vraiment ce que signifie id IR[X]

[PlaneteF]

De la même manière il n'est pas question de mais de tout court.

... je complète cette dernière phrase : "... et bien sûr aussi il n'est pas question de mais de tout court".

Cdt

[invite7d367980]

PlaneteF, certes ici on peut tout traiter sans les matrices. Mais à mon avis, il parait évident que l'objectif de l'exo est bel et bien de les utiliser, en prenant comme base de P2[X] B= (1,X,X^2) et en calculant f(1), f(X) et f(X^2) pour en déduire la matrice M de f dans la base B, afin d'apprendre aux étudiants à maitriser l'utilisation des matrices ailleurs que sur R^n.
Ensuite trouver Kerf = KerM est un jeu d'enfant, comme déterminer Im(f) qui est simplement l'espace vectoriel engendré par une sous-famille libre des vecteurs colonnes de la matrice M.

Enfin, pour déterminer si une matrice est inversible, si tu connais le déterminant, le résultat est immédiat puisqu'une colonne de M vaut le vecteur nul, sinon, tu regardes si le noyau vaut {0}. Si c'est le cas, elle l'est, sinon elle ne l'est pas.

[PlaneteF]

PlaneteF, certes ici on peut tout traiter sans les matrices.

... Euuuh es-tu sûr que ce message s'adresse à moi ?? ... Je ne vois pas le rapport avec ce que je disais : A la base chimiste2312 ne parle pas de matrice, ... et moi non plus, ... je fais le distinguo entre polynôme formel et fonction polynomiale, après que l'on utilise ou pas les matrices dans cet exo ce n'est pas du tout mon propos.

Cordialement

[invite7ee85d66]

Je sais que pour être inversible, une fonction doit être bijective, c'est-à-dire qu'elle doit être injective et surjective.
IR[X]

je pense que tu dois le savoir mais ce que tu dis est vrai uniquement si la dimension d'arrivée est la même que celle de départ, sinon c'est faux!
donc oui tu as raison, si Ker(f) n'est pas égal à {0} alors f pas injective et donc pas bijective.
si tu veux le faire en utilisant les matrices, tu sais qu'une matrice est inversible ssi son système associé est de cramer ( il possède un pivot par ligne) ou si son déterminant est non nul or la matrice de ton application est clairement pas inversible donc ton application n'est pas bijective