Croissance d'une suite et démonstration par induction

[inviteba156243]

Bonjour, j'ai une méthode de point fixe et j'ai besoin de prouver que la suite:
t_n+1=(1/k)*ln(k*t_n+k*tc+1) produit toujours une suite monotone, soit croissante, soit décroissante, le tout avec un raisonnement par récurrence. Les variables k et tc sont des constantes qui varient dans un certain intervalle (k varie de 0.1 à 6 et tc de 0.2 à 2). J'ai beaucoup de difficulté à trouver des exemples similaires sur Internet et peut-être que je vois le problème plus compliqué qu'il ne l'est en réalité. Seulement avec des calculs numériques en posant différentes valeurs pour k et tc, j'ai pu déterminer que la suite est croissante si le t0< point fixe (racine), alors qu,au contraire on est décroissant si t0>point fixe (racine).

Je dois également prouver que si t0=0, la suite suivante est monotone croissante:
t_n+1=(1/k)*(3-((k*exp(3)-tc*k^2-4*k)*(3*k*t_n))/((k*exp(3)-3*k-k*(exp(k*t_n)-k*t_n))))
Je suis un peu perdu
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[Médiat]

Bonjour,

Avec des ln il est vraisemblable qu'en étudiant u_n+1 - u_n vous ayez la réponse.

[invite23cdddab]

C'est un argument classique : la fonction f définie par est croissante.

Si , alors , c'est à dire

Par contre la seconde expression est elle bien celle ci?

[inviteba156243]

En fait pour la première suite , si je prends des couples de valeurs pour k et tc, j'arrive parfois à une suite croissante si mon t0 est près de 0 et j'obtiens une suite décroissante si mon t0 s'approche de 3/k. Comme je sais que j'ai une seule racine entre 0 et 3/k, j'en ai conclu que la fonction était croissante si notre t0 est sous la racine, alors qu'elle est décroissante si notre t0 est supérieur à la racine. Est-ce normal? Je ne suis pas sûr de comprendre votre raisonnement, vous dites que la fonction est croissante, mais que un*>un+1, ce qui donnerait une suite décroissante? Et simplement de dire que un>un+1 serait suffisant pour prouver que la suite est monotone croissante ou décroissante?

Pour le deuxième cas vous avez la bonne forme, mais ici on me spécifie que je dois prouver qu'elle es monotone croissante exclusivement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Je ne suis pas sûr de comprendre votre raisonnement, vous dites que la fonction est croissante, mais que un*>un+1, ce qui donnerait une suite décroissante? Et simplement de dire que un>un+1 serait suffisant pour prouver que la suite est monotone croissante ou décroissante?

J'ai juste fait un des deux cas, et il ne s'agit que de la partie hérédité de la récurrence. Si , tu peux faire exactement le même raisonnement et dans ce cas tu obtiendra

[inviteba156243]

Super merci, je croyais que c'était plus compliqué que cela.