Question d'algèbre linéaire: Dimensions

[tritonik]

Bonjour,

Il y a une chose à propos des dimensions que je vois sur internet mais que je ne vois pas dans mon cours, j'aimerais donc en avoir la confirmation :

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, dire que dimE=dimF <---> E=F est-il vrai ?
Je l'ai vu formulé de cette manière : si F est une sous-E.V de E (qui est de dimension finie) alors si dimF=dimE <--> F=E
J'aimerais savoir si c'est vrai pour deux E.V et pas forcément le sous-E.V d'un E.V.

Autre chose, le cas où il suffit de montrer qu'une application linéaire soit injective ou surjective pour montrer qu'elle est bijective, cela ne concerne que les endomorphismes ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Voir une preuve du cas où F est un sev de E te montrerait tout de suite qu'on utilise bien l'inclusion de E dans F.

Il n'y a pas de raison que le fait de faire les mêmes calculs ait pour conséquence que les choses à propos desquelles on calcule sont les mêmes. Un espace vectoriel de fonctions de dimension 2 n'est pas (à priori) l'espace vectoriel R²; sans compter que les opérations sont généralement sans rapport.

Pour ta deuxième question, il y a effectivement une généralisation à des applications linéaires d'un ev à un ev de même dimension. Là encore, regarder le preuve permet de comprendre (et de se souvenir).

Cordialement.

[God's Breath]

Sur un corps K, l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée de degré au plus 3 et l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 sont bien distincts, et sont tous deux de dimension 4.

[Schrodies-cat]

Bonjour,(...)
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, dire que dimE=dimF <---> E=F est-il vrai ?
Je l'ai vu formulé de cette manière : si F est une sous-E.V de E (qui est de dimension finie) alors si dimF=dimE <--> F=E
J'aimerais savoir si c'est vrai pour deux E.V et pas forcément le sous-E.V d'un E.V.
(...)Merci d'avance

Il y a un problème de formulation: Si .... indique à priori une implication (il manque le alors ...) et j'interpréterais à priori <--> comme une équivalence (qu'on note habituellement <=>).

Ceci étant dit, ne s'agirait-il pas, plutôt que d'égalité, d'une question d'isomorphisme ?
Étant sous entendu qu'il s'agit bien sur d'espaces vectoriels sur le même corps ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[tritonik]

Merci de m'avoir remis les idées en place, en effet c'est pas comme si je n'avais jamais travaillé sur des E.V différents mais de dimensions identiques depuis le début de l'année...

Schrodies-cat: oui c'était bien <=> que je voulait mettre, pour le "si" il est juste mal placé dans ma phrase, on peut l'enlever carrément. Pour ta question je ne saurais dire, dans mon cours (et dans certains autres que j'ai vu) il est juste question d'égalité. Mais d'après ce que je sais, si E=F on peut juste conclure que E endomorphe à F ?

[gg0]

Heu ... si E=F, E et F sont deux noms pour le même espace vectoriel. Comme E est isomorphe à E (application x-->x comme isomorphisme) de façon évidente, on peut dire que E et F sont isomorphes. Mais c'est quand même très réducteur.

Je ne sais pas ce que veut dire "E endomorphe à F" : Quels que soient les espaces vectoriels E et F il n'y a d'endomorphisme que si E=F (définition des endomorphismes), et, pour tout espace vectoriel E, il existe des endomorphismes.

Cordialement.