Suites de fonctions, convergence simple

[invite4308cf33]

Bonjour,

On a la fonction de R+ dans R telle que :

si
sinon

On doit dire si elle converge simplement.

Evidemment si x=0, le résultat est , la limite est nulle.

Cependant quand x est non nul, je n'arrive pas à démarrer.
J'aurais tendance à dire, quand n tend vers l'infini, 1/n tend vers 0, quand x est inférieur à 1/n, (1/n)-x est positif. On a donc ... Enfin je n'arrive pas à trouver la limite... Je tourne en rond...

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

ne pourrais-tu pas dire ce qui te soucie dans le bon vocabulaire ?
"On doit dire si elle converge simplement." ??? Une fonction ne converge pas.

Donc tu dois dire que tu as une suite de fonction fn où fn est définie comme tu le dis. Sinon, tu montres surtout une grande mauvaise volonté à dire de quoi il s'agit.

Ensuite, tu peux représenter f1, f2, f3, f10 pour voir ce qui se passe (c'est du niveau classe de seconde). Puis tu regardera, pour x>0 donné, la suite des fn(x). Par exemple, pour x=2, quelle est la suite ? Et pour x=1/5 ?

Il serait temps d'apprendre vraiment tes leçons sur le sujet (suites de fonctions, convergence simple) et de comprendre ces notions tellement simples. Puis tu auras besoin sans doute de convergence uniforme, déjà un peu moins évident.

Bon travail de révision du cours.

[invite23cdddab]

La convergence simple, c'est de considérer, pour chaque x, la convergence de la suite de nombres f_n(x).

Donc le x est fixé, et on fait tendre n vers l'infini.

Si j'ai, pour a>0 fixé, une suite u_n qui vaut n²a si a < 1/n et 1/a sinon : quelle est sa limite ?

[invite18c42f07]

Bonsoir,

Je suis tout à fait d'accord, essayer d'obtenir intuitivement une tendance graphique en dessinant f1, f2, f3, etc. est souvent vachement révélateur.

Sinon, revenir à la définition de la convergence simple de fn vers f...:


... et à l'équivalent en français :
"Quelque soit le x de quelconque et FIXE qu'on se donne, la suite (ne dépendant donc QUE de n) converge vers un nombre f(x)"

J'aurais tendance à dire, quand n tend vers l'infini, 1/n tend vers 0, quand x est inférieur à 1/n, (1/n)-x est positif.

Là où le bas blesse, c'est que tu as pris le problème dans les deux sens à la fois. "Quand x est inférieur à 1/n, (1/n)-x est positif" Ben oui mais non : d'après la définition de la CV simple, x vaut ce qu'il vaut, il ne varie pas car tu l'as fixé à une valeur quelconque. En revanche tu peux faire tendre n vers l'infini mais du coup tu vas vite voir qu'au bout d'un moment (1/n)-x ne peut plus être positif. Conclusion?


Pour moi le mieux c'est que tu t'en tiennes rigoureusement à la définition formelle. Tu verras que bien souvent le rang N que tu cherches dépend d'epsilon (évidemment) mais aussi de la valeur de x que tu t'imposes au départ, ce qui est somme toute indéniable puisqu'après tout, la valeur de x choisie peut grandement influencer sur les caractéristiques de la suite fn(x). Cependant, il y a des cas où le rang N que tu exhibes ne dépend que de l'epsilon : on parle alors de convergence uniforme, qui est une convergence plus "forte" que la convergence "simple".

Bon sinon, l'exercice en question est relativement simple, ce qui me laisse penser que vous en êtes peut être qu'au début du chapitre auquel cas, no stress faut prendre l'habitude de manipuler les différents définitions du cours, mais ça vient vite.

Quentin

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