forme quadratique

[Bichonfrise]

Bonjour à tous, je dois faire un exercice: Soit f une forme bilinéaire symétrique et q la forme quadratique associée. Il faut prouver que
a) q(x+y)-q(x-y)=4f(x,y)
b) q(x+y+z)=q(x+y) + q(y+z) + q(z+x) -q(x) -q(y) -q(z)
j'ai fait: q(x+y)-q(x-y)= f(x+y,x+y)-f(x-y,x-y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y) + f(y,x) - ( f(x,x) + f(-y,-y) + f(x,-y) + f(-y,x) )=4f(y,y)
je ne trouve pas ce qui est demandé

et au b) f(x+y+z,x+y+z)= f(x,x) + f(x,y) + f(x,z) + f(y,x) + f(y,y) + f(y,z)+ f(z,x) + f(z,y) + f(z,z)= f(x+y,y+x)+f(y+z,y+z) + f(x+z,z+x) +f(x,x) + f(y,y) + f(z,z) =q(x+y) +q(y,z)+q(z,x) + q(x) +q(y) +q(z)
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[God's Breath]

f(x,x)+f(y,y)+f(x,y) + f(y,x) - ( f(x,x) + f(-y,-y) + f(x,-y) + f(-y,x) )=4f(y,y)

Je ne comprends pas cette égalité : il n'y a pas 4 termes en f(y,y) au premier membre...

On voit au passage que le développement de f(x+y,x+y) comporte 4 termes.

f(x,x) + f(x,y) + f(x,z) + f(y,x) + f(y,y) + f(y,z)+ f(z,x) + f(z,y) + f(z,z)= f(x+y,y+x)+f(y+z,y+z) + f(x+z,z+x) +f(x,x) + f(y,y) + f(z,z)

Le premier membre contient 9 termes, si on développe le second membre on aura : 3x4+3=15 termes. Cette égalité est donc fausse.

[Bichonfrise]

[QUOTE=God's Breath;5553678]Je ne comprends pas cette égalité : il n'y a pas 4 termes en f(y,y) au premier membre...

On voit au passage que le développement de f(x+y,x+y) comporte 4 termes.

j'avais fait: f(x,x)+f(y,y)+f(x,y) + f(y,x) - ( f(x,x) + f(-y,-y) + f(x,-y) + f(-y,x) =f(x,x) - f(x,x) +f(y,y) -f(-y,-y) +f(x,y) + f(y,x)- f(x,-y) - f(-y,x)=2f(y,y) +2f(y,y) =
4f(y,y)

je pensais que comme c'est une forme bilinéaire on pouvait faire f(x,y)-f(x,-y)=f(x,y)+f(-x,y)=f(0,2y)=2f(0,y)
et f(y,x)+f(y,-x)=f(2y,0)=2f(y,0)

[gg0]

Pourquoi compliquer ?
par linéarité f(x,-y)=-f(x,y) et f(-y,-y)=f(y,y)
le résultat vient immédiatement.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bichonfrise]

mais alors f(x,x) - f(x,x) +f(y,y) -f(-y,-y) +f(x,y) + f(y,x)- f(x,-y) - f(-y,x)=f(x,y) +f(y,x) +f(x,y) +f(y,x)= 2f(x,y) +2f(y,x)
je ne trouve pas le résultat demandé

[God's Breath]

Il suffit d'écrire les choses proprement et progressivement.

En utilisant que est bilinéaire :



En utilisant que est symétrique :



Par différence :

[gg0]

Bichonfrisé,

comme toujours, appliquer les règles est mieux que d'imaginer les résultats :
"je pensais que comme c'est une forme bilinéaire on pouvait faire f(x,y)-f(x,-y)=f(x,y)+f(-x,y)=f(0,2y)"
Il ne suffit pas de penser, il faut que ce soit vrai. Donc que ce soit l'application d'une règle. la bilinéarité, c'est la linéarité sur chaque composante, indépendamment, pas la linéarité sur (x,y), que tu as appliquée ici.
Revois de près la définition.

Cordialement.