Stabilité d'une fonction cubique

[invite0b16296d]

Bonjour,

Sur cette page, une racine carrée est utilisée pour donner la condition de stabilité du polynôme cubique.
Pourquoi une racine carrée et pas une racine cubique comme ici ?
Sinon, d'où vient ce critère ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

je ne vois pas trop le parallèle. Dans ton premier document, il s'agit de stabilité, qui est obtenue par une condition qui, une fois exprimée, de ramène à une inégalité. mais il ne s'agit en rien de la stabilité du polynôme. Que pourrait vouloir dire, pour un polynôme, "être stable". C'est plutôt, si ma lecture ultra rapide ne me trompe pas, la stabilité des solutions de l'équation différentielle.
Dans le deuxième document, il ne s'agit pas de stabilité, mais de résolution, de racines.


Cordialement.

[invite0b16296d]

Merci gg0 pour ces précisions.
Dans le premier document, le polynôme cubique semble provenir de l'équation caractéristique. Seulement voilà, je ne sais pas comment mettre en oeuvre la condition des trois racines cubiques réelles dont il parle pour obtenir l'équation (16). Serait-ce le polynôme de Hurwitz ? J'ai essayé, mais cela ne semble pas être le cas. Je continue à chercher, mais je ne sais pas trop dans quelle direction aller

[gg0]

A priori,

ce n'est pas la même chose. Là il s'agit simplement d'une condition sur une équation de degré 3 pour que les 3 racines soient réelles, donc liée au discriminant du polynôme (voir par exemple Wikipédia).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,

Sur cette page, une racine carrée est utilisée pour donner la condition de stabilité du polynôme cubique.
Pourquoi une racine carrée et pas une racine cubique comme ici ?
Sinon, d'où vient ce critère ?

Merci

Vous parlez du critère de Routh-Hurwitz?
C'est une critère qui permet de déterminer la stabilité d'un système linéaire sans chercher les racines de l'équation caractéristique (ou des pôles de la fonction de transfert).
Pôles à partie réelle négative équavalent à système dynamique stable.

Il y a son petit frère en échantilloné : Pôle de module inférieur à 1 équivalent à système dynamique stable.

[invite0b16296d]

Pour le critère de Routh-Hurwitz, il y aurait quelque chose sur cette page, mais l'énoncé dit qu'il part d'un polynôme cubique, de l'équation caractéristique.
J'ai pensé à un théorème qui dit qu'un polynôme est stable si tous ses coefficients sont positifs, mais là non plus je ne vois pas où ça mène.

Je ne vois pas non plus comment appliquer le critère "Pôle de module inférieur à 1 équivalent à système dynamique stable."

[stefjm]

Bonjour,
En continu (fonction de transfert en Laplace p ou s), un polynôme est stable (raccourci habituel) si la partie réelle de ses racines est négatives.
Une condition nécessaire pour que cela soit le cas est que tous ses coefficients soit de même signe.
Dans le cas du degré 1 ou 2, c'est aussi une condition suffisante.

En discret, fonction de transfert en z, il y a l'équivalent : critère de Hurwitz.
A priori, vous avez tout ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Hurwitz

Cordialement.

[invite0b16296d]

Bonjour,

Est-ce que le critère de Hurwitz serait la méthode utilisée ici? J'ai essayé mais j'obtiens une expression dans laquelle la vitesse apparaît des deux coté de l'égalité et se simplifie, à moins que j'ai fait une erreur.

[stefjm]

Bonjour,
Je n'ai compris ce que vous cherchez à faire et vu que vous ne le dites pas, je vais arrêter de jouer aux devinettes.
Cordialement.

[invite0b16296d]

Bonjour stefjm,

Je cherche simplement à comprendre le développement pour passer de la fonction caractéristique (cubique) de l'équation (15) au résultat (16) de cette page.
Avec le critère d'Hurwitz, je ne sais pas comment faire pour y arriver.

Merci

[invite0b16296d]

Je ne vois pas comment je peux être plus précis ...

[invite0b16296d]

Apparemment, cela doit être une démonstration "bien connue" ...

[stefjm]

Pas forcément.
Peut être aurez vous plus de réponse si le post est déplacé en physique?