Comment trouver la primitive de l'inverse d'un polynôme cubique?

[invite6cf01fcd]

Bonjour à tous!

Je recherche la primitive de la fonction suivante 1/(x^3-x^2-x).
Il y a trois racines 0; [1+racine(5)]/2; [1-racine(5)]/2. Jusque là pas de soucis, mais au niveau de l'intégration je m'embourbe sévèrement!

Voici mes questions :
1°) Pouvez vous me donner la démonstration en détails de cette intégration, et des méthodes à employé pour réussir l'intégration de ces petites monstres?
2°) Quelqu'un connait-il un cours sur l'intégration des fonction ayant comme forme l'inverse d'un polynômes de très hauts degrés?

Bien à vous
Cognote.
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[invite00970985]

Bonjour à tous!

Je recherche la primitive de la fonction suivante 1/(x^3-x^2-x).
Il y a trois racines 0; [1+racine(5)]/2; [1-racine(5)]/2. Jusque là pas de soucis, mais au niveau de l'intégration je m'embourbe sévèrement!

Voici mes questions :
1°) Pouvez vous me donner la démonstration en détails de cette intégration, et des méthodes à employé pour réussir l'intégration de ces petites monstres?
2°) Quelqu'un connait-il un cours sur l'intégration des fonction ayant comme forme l'inverse d'un polynômes de très hauts degrés?

Bien à vous
Cognote.

Bonjour Cognote,

Sur quel ensemble dois tu intégrer ta fonction ? Si c'est sur [1;+inf[, je te conseillerais d'aller voir la méthode des résidus (fonctions holomorphes toussa toussa). Si c'est sur un intervalle borné, décompose ta fraction en éléments simples ( c'est à dire une somme d'inverse de polynomes de degré 1 ; plus d'info => google "Décomposition en éléments simples" pour voir).

Bonne intégration

[invite6cf01fcd]

Merci pour ta réponse!

Je regarde cela dès se soir si je ne m'endors pas avant, ou sinon demain et je tiens au courant .

Sinon pour mon intégration je pense passer par la décomposition en élément simple, vu que mon intervalle peut être considérer comme borné dans R. L'objectif de l'intégration est de montrer, autre que par manière géométrique, la stabilité de certains points = Analyse de stabilité non-linéaire. Bref le plus sympathique pour moi est d'avoir des primitives sous forme de somme de ln = un trés gros ln plus exactement ...

Bien à toi,
Cognote.

[invite6cf01fcd]

Je suis allé voir sur wikipedia la décomposition en élément simple. Grâce à cette technique j'ai réussit à déterminer des primitives sous forme de ln; cependant je me but dorénavant à un nouveau problème.

Souhaitant résoudre un problème d'analyse de stabilité non linéaire, j'ai égalé la primitive de ma fonction à un temps t. J'essaye d'isolé ma variable x, mais je me retrouve avec des puissances pas du tout gentilles! J'ai comme puissances : 2/(racine(5)+5) et 2/(-racine(5)+5)), j'ai eu l'idée de monter en puissance pour essayer de retrouver une expression en puissance entière et ainsi la dévellopper mais je n'y arrive pas...

Auriez vous d'autres idées sur ce sujet?

Bien à vous,
Cognote.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

Je ne te suis pas ... peux tu détailler tes calculs ? Qu'appelles tu "monter en puissance" ?

[invite6cf01fcd]

Ce que j'appelle "monter en puissance" c'est partir par exemple de l'expression (A^a)*(B^b) et élever l'expression avec une puissance particulière ((A^a)*(B^b))^c pour arriver a modifié mes puissances de a et b qui sont respectivement [1+racine(5)]/2; [1-racine(5)]/2. Pour faire simple j'aimerais trouver c pour avoir a et b entier et ainsi développer sous forme de coefficients binomiaux...

Je vais essayer e soir de vous écrire l'expression avec le langage de mise en page approprié


Bien à vous,
Cognote.

[invite6cf01fcd]

Voilà ma primitive que je pose égale à un temps t :

Mon objectif est donc de trouver la fonction X(t).

Bien à vous,
Cognote.

[invite6cf01fcd]

*EFFACER MESSAGE PRECEDENT*

Voilà ma primitive que je pose égale à un temps t :

Mon objectif est donc de trouver la fonction X(t).
Je sais que c'est un peu lourd mais je ne vois pas d'autre solution, le problème principal est la présence de coefficients devant les ln, ce qui donnera des puissances assez bizarres... des idées?


Bien à vous,
Cognote.

[invite0fa82544]

Bonjour à tous!

Je recherche la primitive de la fonction suivante 1/(x^3-x^2-x).
Il y a trois racines 0; [1+racine(5)]/2; [1-racine(5)]/2. Jusque là pas de soucis, mais au niveau de l'intégration je m'embourbe sévèrement!

Voici mes questions :
1°) Pouvez vous me donner la démonstration en détails de cette intégration, et des méthodes à employé pour réussir l'intégration de ces petites monstres?
2°) Quelqu'un connait-il un cours sur l'intégration des fonction ayant comme forme l'inverse d'un polynômes de très hauts degrés?

Bien à vous
Cognote.

1) Décomposer en éléments simples
2) Savoir que la primitive de est à une constante additive près.

[invite20f23101]

Ce ne sont pas des racines mais des pôles (annulent le dénom)
Une primitive de sur un intervalle adapté est :

Tu décomposes en éléments simples (cf. le paragraphe II→B) en adaptant au cas réel