Bonjour ! Soit K un corps, K[x] l'anneau des polynômes de ce corps. Je sais qu'un élément a de K est une racine d'un polynôme si et seulement si (x-a) divise ce polynôme.
Mais existe-t-il une méthode (ou plusieurs) "directes" pour connaitre toutes les racines d'un polynôme ?
Merci d'avance pour vos éclaircissements !
Je ne pense pas, non.
Par contre, on sait donner les racines pour certains polynomes.
Pour les degrés inférieur à 5, on peut utiliser des méthodes (cardan, ferrari etc...)
Pour les degrés supérieurs ca se complique, notamment parce que les polynomes ne sont pas forcément résolubles pa rédicaux (cf. théorie de Galois). Il existe la méthode d'Hermite qui permet de contourner le problème, mais c'est plus compliqué : il faut utiliser les fonctions elliptiques.
Enfin, pour les équations de degrés supérieurs à 5 mais qui sont quand même résoluble par radicaux, il existe des méthodes permettant de trouver ces racines (cf. méthode de Tschirnhaus mais il y en a surement d'autres ...)
Bonsoir :
si le corpsest fini on peut en principe determiner les racines .
J'ai dit en principe car si le cardinal de
si le corps
il faut toutefois distinguer deux genres de corps en discutant cette question: les corps de caracteristiuque nulle et ceux ayant une caracteristique finie...
J'avoue que je ne saurais rentrer dans ses subtilités. J'ai implicitement supposé que K=R ou C. Mais la question était surement plus large que je ne le pensais
Bonsoir.Envoyé par besieger
Ce qui suit concerne le corps C (ou tout corps similaire : clôture de corps réel clos).
Si tu veux trouver des approximations de toutes les racines d'un polynôme P, sans en rater aucune, la méthode la plus connue consiste à calculer des intégrales de P'/P sur des lacets pour les localiser, et à enchaîner avec la méthode de Newton.
Une forme explicite de cette méthode, utilisant les suites de Sturm, est exposée ici. Je ne sais pas s'il y a ou non des problèmes d'arrondis instables.
On ne sait pas trouver toutes les racines d'un polynôme par des méthodes exactes, sauf lorsque l'équation se ramène à des équations particulières, ou de degré 1, 2, 3 ou 4.
Taar.
ça dépend ce qu'on appelle "connaître les racines", et quel est le corps de base.
Pour un corps fini on peut bien sûr trouver algorithmiquement toutes les racines. (suffit de tout tester)
Pour un corps p-adique, ou F_p(t), on peut en trouver des approximations à toute précision voulue. (lemme de Hensel)
Idem pour R ou C. (méthode de Newton, ou autres)
Quand le degré est inférieur ou égal à 4, on peut en donner des expressions avec des radicaux.
D'autre part on a les algorithmes pour représenter et manipuler sur une machine les éléments de la clôture algébrique de Q (par exemple). Ce n'est même pas très compliqué en théorie, même si c'est très pénible à implémenter.
Je me corrige moi-même : j'oubliais une autre méthode, plus connue encore et très pratiquée, l'algorithme Jenkins-Traub...
