structure groupe d'ordre 4 (exo)

[invite579adc40]

je suis bloqué ds cet exo
G un groupe d'ordre 4
1)m.q. il existe a appartenant a G-{e}/ x^2=e ; e le neutre
2)m.q. quelque soit a appartenant a G-{e}/a^3 différent de e
3)m.q. quelque soit a appartenant a G-{e}/a^4=e
4)determiner la structure de G
***************************
G={e,a,b,c}
j'arrive a démontrer 1)
2=si a^3=e et a^2=e alors a=e(absurde g un groupe d'ordre 4)
mais si a^3=e et a^2 diff de e jarrive pas...
*********************
svp quel est le nom du logiciel avec lequel je pourrais ecrire plus couramment les maths ici(avec les sigma et tt ca...)
merci d'avance
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[Médiat]

Vous n'avez besoin d'aucun logiciel pour faire de belles formules : tapez du code Latex, et ensuite mettez les bonnes balises (bouton TEX) en haut à droite.

Merci de ne pas utilisez de style SMS ou des abréviations, tous les lecteurs n'ont pas le français comme langue maternelle.

[invite579adc40]

d'accord. (mais je connais pas ce latex...).
quelqun peut il m'aider ?pour a^3 au moin?

[Médiat]

Bonjour,
Vous trouverez la base de Latex là : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Sur le net il existe des centaines de documents si vous voulez approfondir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20f23101]

Salut !
J'ai découvert sur ce forum ; je dois dire que c'est particulièrement performant. Pour te montrer, voilà comment j'aurai rédigé ton message avec Latex (ce n'est qu'un exemple parmi tant d'autres) :
Je suis bloqué dans cet exercice :
Soit un groupe d'ordre
1) Montrer : ; le neutre ;
2) Montrer : ;
3) Montrer : ;
4) Déterminer la structure de .
***************************

j'arrive a démontrer 1)
2) si et alors (absurde car un groupe d'ordre 4)
mais si et je n'y arrive pas...
*********************
J'ai écrit ça puis :

 Cliquez pour afficher

Je suis bloqué dans cet exercice :
Soit [ TEX]G[/TEX] un groupe d'ordre [ TEX]4[/TEX]
1) Montrer : [ TEX]\exists a \in G-{e},\;x^2=e[/TEX] ; [ TEX]e[/TEX] le neutre ;
2) Montrer : [ TEX]\forall a \in a G-{e}\;a^3 \ne e[/TEX] ;
3) Montrer : [ TEX]\forall a\in G-{e}\; a^4=e[/TEX] ;
4) Déterminer la structure de [ TEX]G[/TEX].
***************************
[ TEX]G={e,a,b,c}[/TEX]
j'arrive a démontrer 1)
2) si [ TEX]a^3=e[/TEX] et [ TEX]a^2=e[/TEX] alors [ TEX]a=e[/TEX] (absurde car [ TEX]G[/TEX] un groupe d'ordre 4)
mais si [ TEX]a^3=e[/TEX] et [ TEX]a^2 \ne e[/TEX] je n'y arrive pas...
*********************

P.S. : Il faut prononcer ‘latek’ pour d'obscures raisons qui sont expliquées dans le livre de framasoft sur le sujet.
P.P.S. : Je n'ai pas trouver de signe "différent de" qui ait une barre oblique plus petite et que le forum accepte.

[invite20f23101]

D'ailleurs il faudrait faire un pétition pour que le forum accepte enfin d'utiliser MathML pour le rendu des formules TeX : ça serait tout de même beaucoup plus propre !

[invite20f23101]

Du coup à force d'écrire ton problème j'ai pensé à 2 ou trois trucs :
→ Avec le théorème de Cauchy sur les groupes ça roule tout seul !!
Il n'y a pas dans ton cours un lien entre l'ordre d'un élément et celui de son groupe ? si un élément ne peut pas être d'ordre supérieur à celui de son groupe 2) et 3) sont réglés.
→ Structure : qu'est-ce à dire ? commutatif ?

[invite58633955]

Je te propose de faire les questions toutes en meme temps
Tout est conséquence du lemme de la poele (bien sur si tu connais le lemme de Lagrange c'est beaucoup plus rapide). Prends les itérés de x, {x^n,n=0,1,2,3,4}, tu as donc 5 elements tels que dans un ensemble de cardinal 4, donc au moins 2 sont egaux.
Tu as donc x^i=x^j avec i,j dans [0,4], donc x^{i-j}=1, avec r=i-j qui est dans [1,4]. Si x est different de 1, alors r est doit 2,3,4.
Si x^3=1, alors {1,x,x²} est un sous groupe de ton groupe, prends y qui soit l'element qui reste, alors xy est different de x et de y, donc xy=1 ou x², mais ca donnerait alors y=x² ou y=x ce qui est exclu, donc xy est different de 1,x,x²,y, qui sont deja tous different, et ca c'est pas possible dans un groupe d'ordre 4.

Donc l'ordre de x est 2 ou 4. S'il est d'ordre 2 c'est fini, sinon x^4=1 et x² est d'ordre 2.

Donc on a vu que tous les elements verifiiant x^4=1, soit il en existe 1 d'ordre 4, et ton groupe est Z/4
Soit tous son d'ordre 2 et alors quotiente par le sous groupe engendré par n'importe quel element d'ordre 2, disons x (donc par Z/2). Le quotient est isomorphe a Z/2. Prends y un representant de 1 dans le quotient et montre que
Z/2xZ/2->G qui a x associe (1,0) et a y (0,1) est un isomorphisme. (Tu pourras remarquer que le groupe est necessairement abélien)