espaces vectoriels

[invite7d50ac28]

Bonjour
j'arrive pas a comprendre cette phrase <R est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel. C'est bien sur faux si on on voit C comme C-espace vectoriel.> merci d'avance
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[invite57a1e779]

En utilisant l'addition et la multiplication usuelle des nombres complexes, C a deux structures d'espace vectoriel :
— une structure de R-espace vectoriel, c'est-à-dire que, pour la loi externe , le scalaire est uniquement réel ;
— une structure de C-espace vectoriel, c'est-à-dire que, pour la loi externe , le scalaire est complexe quelconque.

Il est certain que R est une partie de C stable par addition ; le problème est pour la loi externe.

Dans le premier cas, R est également stable par la loi externe, et c'est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel C.

Dans le second cas, R n'est pas stable par la loi externe : si est élément de C et élément de R, on ne peut pas en déduire que est élément de R (par exemple et ), donc R n'est pas un sous-espace vectoriel du C-espace vectoriel C.

[invite9dc7b526]

On peut aussi remarquer que C est un C-espace vectoriel de dimension 1 et qu'un espace vectoriel de dimension 1 n'a pas de sous-espace vectoriel propre (autre que {0} et lui-même).