Changement de base simple

[invite814a7e57]

Bonjour,

Cela fait maintenant 3 ans que je n'ai pas fait certaines partie en mathématique et me voila à devoir les revoir.

Enfaite voici mon exercice : on me file la matrice d'un endormorphisme dans la base canonique de R^3


(3 1 -3)
(-1 1 1)
(1 1 -1)

On me dit qu'on a une autre base (a,b,c) tq a=(1,1,1) b=(1 -1 0) et c=(1, 0 ,1)

J'ai déjà vérifier en premiere partie que j'avais bien une famille libre et génératrice --> C'est OK c'est une base de R^3 aussi

Par contre on m'a demande de passé ma matrice dans la nouvelle base.. et la je bloque... Je me souviens d'une formule qui me permettant de passé d'une base a l'autre avec du style Z=P^-1 A P mais je vois pas trop comment l'utilisé dans ce cas la .
Ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplier cette matrice qu'on me donne par la matrice avec pour colonnes a,b,c et je trouve

(1 -2 0)
(1 -2 0)
(1 0 0) A quoi corresponds cette matrice d'une manière concrete: c'est mon application dans quelle base ??

Car je vois bien que ma premiere colonne corresponds à mon a et la deuxieme colonne a 2*b et ma troisieme colonne à 0 * c

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Je me souviens d'une formule qui me permettant de passé d'une base a l'autre avec du style Z=P^-1 A P

C'est effectivement la formule à utiliser.

la matrice avec pour colonnes a,b,c

C'est la matrice P de la formule de changement de base.
Tu as déjà calculer AP. Il te reste à calculer P^-1 et P^-1AP.

Ce que j'ai fait c'est que j'ai multiplier cette matrice qu'on me donne par la matrice avec pour colonnes a,b,c et je trouve

(1 -2 0)
(1 -2 0)
(1 0 0) A quoi corresponds cette matrice d'une manière concrete: c'est mon application dans quelle base ??

Car je vois bien que ma premiere colonne corresponds à mon a et la deuxieme colonne a 2*b et ma troisieme colonne à 0 * c

Tu as multiplié la matrice A par P, mais pas par P^-1 : tu n'as fait le changement de base que "d'un côté".

La matrice obtenue est celle de l'endomorphisme considéré de R³ muni de la base (a,b,c) dans R³ muni de la base canonique.
Tu lis, en colonne, les images de a, b et c données dans la base canonique, c'est-à-dire que a, b et c ont pour images respectives 1.a, 2.b et 0.c.