minimum local

[mona123]

Bonjour peut quelqu'un maider à repondre à cette question:
On considère V dans E_r={P∈R[X_1,X_2,..,X_d] telque deg P≤r}
Si exp^{-V(x)}∈L^2(R^n) alors on a V admet un minimum local.
Merci d'avance
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[Tryss2]

Indice : Pour qu'une fonction de la forme exp(-V(x)) soit L² (avec V polynôme), il faut nécessairement que la limite quand |x| tend vers l'infini de V soit +oo.

[mona123]

Bonjour tryss2,
pour prouver ça on suppose que limite quand |x| tend vers l'infini de V soit finie donc il exist a,b dans R telque a<=V(x)<=b ainsi exp(-b)<=exp(-V(x))<=exp(-a) or exp(-b)n'est pas dans L^2 donc exp(-V(x)) n'est pas dans L^2
mon raisonnement est il juste?

[Tryss2]

V n'a pas de raison d'avoir de limite quand |x| tend vers l'infini.

Ici, le fait que V soit un polynôme est très important

[A voir en vidéo sur Futura]

[mona123]

V est un polynôme non constant donc limite quand |x| tend vers l'infini est +oo ou -oo ?

[mona123]

J'arrive pas à montrer pourquoi on a nécessairement limite quand |x| tend vers l'infini de V soit +oo. Pouvez vous s'il vous plait m'aider encore?

[mona123]

pour la question "On considère $V$ dans $E_r$={$P\in R[X_1,X_2,…,X_d], tel que: deg P\le r$}
Si $exp^{-V(x)} \in L^2(R^d)$ alors on a limite quand $|x|$ tend vers l'infini de $V$ est $+\infty$ "
voici ce que j'ai ecrit:
on raisonne par contraposée:
on suppose que
cas 1)
$lim_{|x|\rightarrow \infty}V<+\infty$ donc ils existent $a,b\in R$ telque $a\le V(x)\le b$ donc $ exp(-b)\le exp(-V(x))\le exp(-a)$ or $exp(-b) $ n'est pas dans $ L^2$ par suite $ exp^{-V(x)}$ n'est pas dans $L^2$
cas 2)
$lim_{|x|\rightarrow \infty}V=-\infty $ donc $lim_{|x|\rightarrow \infty} exp^{-V(x)}=+\infty $ Donc il exist $A\ge 0$ telque si $|x|\ge A$ on a $exp(-V(x))\ge 1$ d'ou $ \int _{R^n} |exp(-V(x))|^2 dx\ge \int _{|x|\ge A}1dx=\infty $ ainsi on a $exp^{-V(x)}$ n'est pas dans $L^2$.

Ma réponse est elle juste?

[Tryss2]

Et si V n'a pas de limite quand |x| -> +oo?

[mona123]

j'ai repondu à ça dans le cas 2)

[gg0]

Ben non !

Et tu pourrais avoir la politesse de mettre tes expressions LaTeX entre des balises Tex, et pas des $ qui ne servent à rien ici ! C'est quand même assez lamentable !!

[Tryss2]

j'ai repondu à ça dans le cas 2)

Non, tu n'as pas répondu à ça dans le cas 2, vu que tu commences par

[mona123]

Pouvez vous s'il vous plait m'aider à repondre à ce cas ?je n'ai pas pu le traité.

[mona123]

pour la question "On considère dans ={}
Si alors on a limite quand tend vers l'infini de est "
voici ce que j'ai ecrit:
on raisonne par contraposée:
on suppose que
cas 1)
donc ils existent telque donc or n'est pas dans par suite n'est pas dans
cas 2)
donc Donc il exist telque si on a d'ou ainsi on a n'est pas dans .

Il me reste à traiter le 3 eme cas: si V n'a pas une limite quand |x| tend vers que j'arrive pas à le faire .Quelq'un peut m'aider?Merci d'avance

[mona123]

le cas 3) est il possible :en fait on a V est un polynome donc ou bien la limite de V(x) est infini ou bien c'est une constante ????

[Tryss2]

Que penses tu de la limite quand |x| tend vers l'infini de f(x) = x?

[mona123]

ahh
c'est si x tend vers
et si x tend vers
donc elle n'existe pas
Mais je n'arrive pas à traiter ce cas dans la question initiale.Pouvez vous s'il vous plait m'aider?