Minimum local d'une intégrale

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir,

Cela faisait longtemps que je n'étais pas revenu... Mais avec quel plaisir je reviens poser une question

Mon problème réside à démontrer que la fonction admet un minimum local en .

En voyant la fonction telle qu'elle est, j'ai pensé à intégrer la fonction par parties, pour ensuite trouver que la dérivée en 0 vaille bien 0.

Mais alors en voulant utiliser le fait que (pour deux fonctions dérivables ( un intervalle ouvert contenant et ), dont les dérivées sont continues), je pose donc , ainsi que , mais pour trouver , j'ai déjà plus de mal... D'autant plus que Wolfram|Alpha me sort un résultat qui me parait farfelu (avec une fonction error...). Après avoir chercher un bout de temps, il semblerait que soit une de ces fonctions non intégrables. Mais alors comment puis-je avancer dans mon raisonnement ? Faut-il que je trouve un autre chemin pour résoudre mon problème ou alors cette fonction est-elle primitivable?

Merci beaucoup pour toutes vos réponses ^^

Cordialement
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[inviteea028771]

Pourquoi chercher à primitiver? Pour x=0 ta fonction est nulle, tandis que pour x différent de 0 elle est strictement positive => minimum global en 0 (c'est encore mieux)

Sinon le résultat que te sors wolfram alpha n'est pas du tout farfelu, simplement, cette fonction ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d%27erreur

[invitebbd6c0f9]

Merci pour votre réponse ^^

Donc, si j'ai compris votre message le fait de primitive pour dériver ensuite est superflu (je me suis un peu cassé la tête en somme ^^), et donc il me faut montrer que

ainsi que , .

Pour la première, dire que si , alors est, je pense, suffisant.

Pour la seconde, je ne vois pas trop comment faire.. Sachant que je n'arrive pas à calculer la primitive, je ne vois quelle genre de propriété utiliser pour montrer que le terme est toujours plus grand que zéro.

Merci d'avance pour vos indices

Cordialement

P.S. : Quant à la fonction erreur, j'avais trouvé la définition avec la somme d'une fraction comprenant des factorielles, c'est pourquoi je doutais un peu.. mais avec cette définition ça parait plus clair ^^

[inviteea028771]

Sachant que je n'arrive pas à calculer la primitive, je ne vois quelle genre de propriété utiliser pour montrer que le terme est toujours plus grand que zéro.

C'est simple :

L'intégrale d'une fonction strictement positive est strictement positive.

Ici tu peux même minorer ton intégrale par x²(e^(-x)e^(-x²-x^4)) (la fonction a l'intérieur est minimale en x², donc on la minore par sa valeur en x² et on intègre la constante ainsi obtenue)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour l'anonyme !

Effectivement, ça faisait longtemps.
Pour "la seconde", c'est aussi une évidence, si tu considères le signe de la fonction à intégrer et le fait que x²>0.

Cordialement.

NB : Tryss a répondu avant moi, mais c'était surtout pour saluer l'Anonymous.

[invitebbd6c0f9]

Merci pour vos réponses ! Et bonjour gg0 ^^

En effet, puisque (pour tout x) alors (pour tout x (sauf x=0)), en considérant que x^2>0 et que l'intégrale d'une fonction positive est positive.

Merci de votre aide et à bientôt

Cordialement