Bonjour,
Je me permets de vous solliciter pour cet exercice. Ce qui me bloque ici, c'est l'absence de l'expression de la fonction.
Serait-il possible que quelqu'un m'éclaire sur ce que je dois faire. Merci à vous !
Voici l'exo :
Soit f une fonction définie sur Df ⊆ R² et X0 = (x0,y0) ∈ Df tel que f(X0) = 0. On suppose que f est de classe C1 sur une boule ouverte B(X0,r) et que ∂f(X0) /∂y ≠0.
Le théorème des fonctions implicites établit alors il existe des intervalles I = ]x0 − ε ; x0 +ε[ et J = ]y0 − η ; y0 + η[ tels que I × J ⊂ B(X0,r) et :
— ∂f(x,y)/∂y ≠ 0 pour tout (x,y) ∈ I × J ;
— pour tout x ∈ I il existe un unique élément de J, noté ϕ(x), tel que f(x,ϕ(x)) = 0.
On admet que la fonction ϕ : I → J est continue sur I.
Soit x ∈ I et h un réel tels que x + h ∈ I.
1 - Montrer que :
f(x + h,ϕ(x)) − f(x,ϕ(x)) = h × ∂f(x + θh,ϕ(x))/∂x , pour un certain θ ∈ ]0;1[.
2 - Montrer qu'on peut trouver un réel c strictement compris entre ϕ(x) et ϕ(x+h) tel que :
f(x + h,ϕ(x + h)) − f(x + h,ϕ(x)) = [ϕ(x + h) − ϕ(x)] × ∂f(x+h,c)/∂y
3 - Déduire (en utilisant éventuellement que f(x,ϕ(x)) = 0 pour tout x ∈ I) que :
0 = ∂f(x + θh,ϕ(x))/∂x + [ ϕ(x + h) − ϕ(x) ] / h × ∂f(x + h,c)/∂y.
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