Optimisation : fonction sur R²
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Optimisation : fonction sur R²



  1. #1
    invitedd55be45

    Optimisation : fonction sur R²


    ------

    Bonjour,
    Je me permets de vous solliciter pour cet exercice. Ce qui me bloque ici, c'est l'absence de l'expression de la fonction.
    Serait-il possible que quelqu'un m'éclaire sur ce que je dois faire. Merci à vous !

    Voici l'exo :

    Soit f une fonction définie sur Df ⊆ R² et X0 = (x0,y0) ∈ Df tel que f(X0) = 0. On suppose que f est de classe C1 sur une boule ouverte B(X0,r) et que ∂f(X0) /∂y ≠0.
    Le théorème des fonctions implicites établit alors il existe des intervalles I = ]x0 − ε ; x0 +ε[ et J = ]y0 − η ; y0 + η[ tels que I × J ⊂ B(X0,r) et :
    — ∂f(x,y)/∂y ≠ 0 pour tout (x,y) ∈ I × J ;
    — pour tout x ∈ I il existe un unique élément de J, noté ϕ(x), tel que f(x,ϕ(x)) = 0.
    On admet que la fonction ϕ : I → J est continue sur I.
    Soit x ∈ I et h un réel tels que x + h ∈ I.

    1 - Montrer que :
    f(x + h,ϕ(x)) − f(x,ϕ(x)) = h × ∂f(x + θh,ϕ(x))/∂x , pour un certain θ ∈ ]0;1[.

    2 - Montrer qu'on peut trouver un réel c strictement compris entre ϕ(x) et ϕ(x+h) tel que :
    f(x + h,ϕ(x + h)) − f(x + h,ϕ(x)) = [ϕ(x + h) − ϕ(x)] × ∂f(x+h,c)/∂y

    3 - Déduire (en utilisant éventuellement que f(x,ϕ(x)) = 0 pour tout x ∈ I) que :
    0 = ∂f(x + θh,ϕ(x))/∂x + [ ϕ(x + h) − ϕ(x) ] / h × ∂f(x + h,c)/∂y.

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  2. #2
    invite57a1e779

    Re : Optimisation : fonction sur R²

    Bonjour,

    Il suffit

    1. d'utiliser le théorème des accroissements finis pour la fonction .

    2. d'utiliser le théorème des accroissements finis pour la fonction .

    3. de vérifier que le second membre de l'égalité est bien nul.

  3. #3
    invitedd55be45

    Re : Optimisation : fonction sur R²

    Je n'ai pas compris le théorème d'unicité. Pourriez-vous m’expliquer ? Merci.

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : Optimisation : fonction sur R²

    Quel théorème d'unicité ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitedd55be45

    Re : Optimisation : fonction sur R²

    Désolée j'étais sur autre chose, je voulais dire le théorème d'accroissements finis.

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : Optimisation : fonction sur R²

    Je m'aperçois qu'il y a une faute de frappe (que je ne m'explique pas) dans mon indication pour la question 2.

    Il faut lire :
    2. [Il suffit] d'utiliser le théorème des accroissements finis pour la fonction .
    Chacune des fonction et est une fonction d'une variable, de classe sur l'intervalle ou suivant le cas.

    Pour chacune d'elles, on peut utiliser le théorème usuel des accroissements finis sur un sous-segment de ou de .

    Par exemple pour , si est un couple d'éléments de :


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