inégalité de bessel

[invite0731164c]

Bonjour,

Je lisais l'article wikipedia sur l'inégalité de bessel il est dit que pour une famille de vecteurs orthonormée, l'inégalité de bessel signifie que

Je me demandais si dans le cas fini on pourrais pas mettre une égalité. En tout cas pour R^n il me semble que ça marche.

Merci de vos réponses
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[invite57a1e779]

[QUOTE=zaskzask;5563329]Bonjour,

Tout d'abord, l'inégalité de Bessel pour une famille orthonormée est:



C'est une égalité lorsque l'espace est de dimension finie et lorsque en est une base.

[invite0731164c]

et y a t-il un cas où la base est orthonormée et où l'inégalité est stricte?

[invite0731164c]

c'est trop trivial?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si la famille est une BASE orthonormée, alors le vecteur x est combinaison linéaire d'un nombre FINI de vecteurs de la base, et il y a nécessairement égalité.

[invite0731164c]

Pardon : ce n'est pas une base algébrique mais une suite orthonormée totale.

[invite57a1e779]

Si la famille orthonormée est totale, il y a égalité, c'est la formule de Parseval.

[invite0731164c]

et si elle est juste orthonormée?

[invite57a1e779]

Considérer la famille des fonctions dans l'espace des fonctions continues et -périodiques muni du produit scalaire : .