Démonstration dérivabilité => continuité

[invite949a348a]

Bonjour, pour démontrer que la dérivabilité en un point (d'abscisse x0) implique la continuité en ce point, ai-je le droit d'écrire (quand x tend vers x0 à chaque fois) ce que je mets en gras et ce qui s'ensuit :

Comme f est dérivable en x0,
lim [f(x)-f(x0)/(x-x0)] = L avec L appartenant à R.

lim [f(x)-f(x0)/(x-x0)] = lim (f(x)-f(x0))/lim(x-x0)

Donc lim (f(x) -f(x0)) = L*lim(x-x0)

Or lim(x-x0) = 0 donc lim (f(x) - f(x0)) = 0 d'où la conclusion lim f(x) = f(x0) : la fonction est bien continue en x0.


PS : de manière générale, si j'ai lim f(x) = L et que je peux décomposer la fonction f en un quotient p/q, est-ce que je peux écrire que lim f(x) = lim(p(x)/q(x)) = lim p(x)/ lim q(x) d'où lim p(x) = L*lim q(x) ?

Merci!
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[Seirios]

Bonjour,

Puisque , il est plutôt gênant d'écrire ...

[invite949a348a]

Aïe, oui, en effet...

Comment je peux m'y prendre pour être rigoureux ?

[invite23cdddab]

Par contraposée : si lim f(x) - f(x0) est différent de 0, alors (f(x)-f(x0))/(x-x0) ne converge pas. En effet, il existe alors e>0 et une suite xn qui tend vers x0 tel que | f(xn)-f(x0) | > e, donc |(f(x)-f(x0))/(x-x0)| > e/|x-x0| qui tends vers +oo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Merci Tryss, mais je ne comprends pas cette phrase "En effet, il existe alors e>0 et une suite xn qui tend vers x0 tel que | f(xn)-f(x0) | > e".

Peut-être que je ne connais pas la définition qui me permettrait de la comprendre :/

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le plus simple :

[invite949a348a]

Merci beaucoup,c'est très clair comme ca!