Calcul de l'intégrale de exp(-t)/t

[invitee1044c29]

Bonsoir !

Après m'être cassée une bonne heure sur ce petit exo bien sympa, j'implore votre aide

Voilà le sujet :

Soit f(x) = intégrale de x a + l'infini de (exp(-t)/t) dt
1) Domaine de définition (ça, c'est bon ! x>0)
2) Calcul de (l'intégrale de 0 à + l'infini) de f(x) dx

Donc, tout d'abord j'ai fait une intégration par partie !
int (exp(-t)/t dt) = [ln(t) exp(-t)](de x a inf) + int ( ln(t) exp(-t) dt)
int (exp(-t)/t dt) = ln(x)exp(-x) + ??
Là, je vois pas trop comment faire.. j'ai pensé à un changement de variable, en posant u=ln(t) ; t = exp(u)
Mais tout devient compliqué..

J'aimerais bien un petit coup de pouce pour pour savoir où je dois aller !

Merci d'avance ! (par avance.. je suis nouvelle sur le forum, j'ai essayé de voir si cette question a déjà été posé mais sans succès, si c'est la cas j'en suis desolée )
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Suite à la première question, on est en présence d'une fonction définie sur par :

Il faut alors trouver la valeur de :, ce qui demande au passage de prouver que cette intégrale converge !

Tout l'art mathématique consiste à calculer cette intégrale sans calculer explicitement , tout simplement parce que de gros théorèmes sur les extensions de corps différentiels prouvent que l'on ne peut pas exprimer à l'aide des fonctions usuelles.

Il faut effectivement faire une intégration par parties, mais sur l'intégrale à calculer, pas sur l'intégrale définissant . On commence par :



La dernière intégrale se calcule bien et il n'y a aucun problème à trouver la limite lorsque tend vers et vers .

Ensuite, le terme est facile à majorer pour prouver qu'il est de limite nulle lorsque tend vers .

La difficulté est de déterminer la limite de lorsque tend vers ; pour ce faire, il faut obtenir un équivalent de lorsque tend vers …

[invite23cdddab]

On te demande de calculer l'intégrale de f(x), pas celle de exp(-t)/t

Les primitives de exp(-t)/t ne s'expriment pas en terme de fonctions usuelles.

Ce que tu as a calculer c'est

[invitee1044c29]

Après un petit moment de réflexion, j'ai trouvé merci beaucoup pour votre aide Tryss2 !

[A voir en vidéo sur Futura]