limite supérieure et sous-suite.

**zaskzask** · 20/04/2016, 10h00

Bonjour

Il y un point d'une preuve que je ne comprends pas.
"Si x_n est une suie telle que $\text{[math]}$ alors il existe une sous-suite $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ ."
Je vois pas trop les étapes pour arriver à ce résultat.
Je sais que $\text{[math]}$
Si je renomme $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$
alors on sait que pour tout $\text{[math]}$ il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et on a une sous-suite $\text{[math]}$ qui converge vers s_i (par la définition du suprémum). (mais s_i n'est pas supérieure à c, donc mon approche est pas bonne :S).

Quelqu'un peut-il m'expliquer les étapes pour ce résultat?

Merci d'avance

**gg0** · 20/04/2016, 16h24

Bonjour.

En remplaçant éventuellement $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , on peut supposer que la suite est positive (ça évitera d'écrire des valeurs absolues partout).
Soit $\text{[math]}$ ; par définition, il existe au moins un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . On note $\text{[math]}$ .
Par définition, il existe au moins un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . On note $\text{[math]}$ .
Et on continue ... les $\text{[math]}$ se définissent par récurrence, et leur limite (qui est leur borne inférieure puisque la suite est décroissante) est d.

Cordialement.

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Re : limite supérieure et sous-suite.

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