Bonjour à tous,
Je suis en licence MIASHS (3ème année), et je n'arrive pas à faire cet exercice (questions e et f). J'ai fait les quatre premières bien que je ne sois pas sure du resulat, mais je n'arrive pas à poursuivre, je ne sais pas comment procéder.
Soit la fonction f définie sur R2 par X = (x,y) → f(X) = exp(x−y) − (1 + x + y).
(a) Sur quelle courbe de niveau de f se situe X0 = (0,0)? On notera cette courbe Nf(0) par la suite.
(b) Donner les expressions de ∂f / ∂x (X) et de ∂f / ∂y (X). Calculer ∂f / ∂x (X0) et ∂f / ∂x (X0).
(c) Montrer qu’il existe des intervalles I et J centrés en 0 tels que pour tout x ∈ I, il existe un unique ϕ(x) ∈ J tel que f(x,y) = 0.
(d) Donner les expressions de ϕ′(x) et de ϕ′′(x). Calculer leur valeur en 0.
(e) Vérifier que le gradient de f en X0 est orthogonal à la droite tangente à Nf(0) en X0.
(f) On fait tendre X = (x,y) → (0,0) en restant sur Nf(0). Donner la limite de y/x2 .
Aide : lorsque x et y sont suffisamment proches de 0, on peut écrire X = (x,ϕ(x)).
Merci d'avance pour votre aide !
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