Déterminant Matrice

[invite814a7e57]

Bonjour,

je viens vous posez la question suivante issue d'un QCM dont je n'ai pas la réponse :

Soit n>=2. Pour tout couple (A,B) de matrices n x n à coefficients complexes telles que AB=0 et BA=/=0, on a

1) det (BA)=/=0
2) tout vecteur propre pour A est vecteur propre pour B
3) (BA)²=/=0
4) det(A)=0
5) det(A)=/=0

J'ai essayé via un exemple de me donné un ordre d'idée. J'ai pu me rendre compte que (BA)² était bien =/= 0 mais après est- ce que c'est toujours vraie je ne suis pas sur
Et j'ai pu remarqué que le déterminant de A était bien nul.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer un petit peu chaque propriété car j'ai du loupé certaines definition du déterminant que je ne retrouve pas sur internet.

Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

J'ai pu me rendre compte que (BA)² était bien =/= 0

La multiplication des matrices ne serait-elle plus associative ?

[invite814a7e57]

De mes souvenirs, Si AB=0 et BA n'est pas forcément =0

[Médiat]

Votre réponse n'a aucun rapport avec ma question !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite814a7e57]

Ah pardon j'ai compris...
(BA)²= (BA) x (BA) = B x (AB) x A et comme AB=0 du coups forcément BA²=0.. C'est cela ?

Merci pour cette réponse déja, si vous pouvez m'éclairer de la meme manière pour les autres questions je vous serais vraiment reconnaissant

[Médiat]

C'est cela ?

Oui, ce qui devrait vous aider pour la question 1

[invite814a7e57]

Ok donc 3) (BA)²=/=0 est fausse.

Pour la question 1) On me demande le det(BA). On vient de montrer que BA²=0 donc det(BA²)=0 --> det(BA) x det(BA)=0 donc det(BA)=0 donc la première réponse est fausse également. C'est cela ?

[invite54a8a072]

oui c'est juste , tu peut même faire plus simple : det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det (A)=det(BA)=0 par n-linéarité du déterminant et par commutativité des complexes . Ensuite pour 2,4, et 5 , je pense que c'est faux , et qu'il doit exister une pléthore de contre exemple pour des matrices 2*2 .