Equation différentielle et matrice.

[invite7a1ed834]

Bonjour,

J'ai un exercice de modélisation avec des matrices et des dérivées/équations différentielles.
Dans l'image ci-dessous on donne la définition de Z et de D.

Sachant P = RQ et P^-1 = Q^-1 R^-1

On sait aussi que dY(s)/ds = M*Y avec M une matrice.

Je ne pense pas qu'il faille connaitre les expressions des matrices, c'est juste des manipulations littérales mais je ne vois pas trop comment faire.
J'avais un autre exercice similaire et j'avais d'abord exprimé dY(s) en fonction de dZ(s) sauf qu'ici sachant dZ = D*Z et dY = M*Y et Y = P*Z et D = P^-1*M*P je peux partir de

dY = M*Y multiplier à gauche par P^-1 ce qui donne P^-1 dY = P^-1 * M * Y et il me faudrait insérer P entre M et Y pour obtenir D et les relier, mais j'ai un peu de mal.

Si l'un d'entre vous a une idée, je lui en serai très reconnaissant.


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[invite7a1ed834]

Si vous avez une question n'hésitez pas à me le dire, j'aimerai vraiment réussir à faire cet exercice.

[stefjm]

C'est quoi l'équation différentielle (4)?

J'avoue que je suis un peu perdu : Je ne vois pas d'où ça part et où l'auteur du sujet veut vous emmener...

[invite7a1ed834]

C'est dY(s)/ds = M*Y(s) l'équation (4)
Je vous remercie beaucoup pour votre réponse !

(Il est vrai qu'il y a beaucoup de données mais les expressions ne sont pas trop dures à trouver, enfin avec celle-là j'ai du mal, si vous voulez comprendre la cohérence de la question ou que cela peut vous aider, je vous mets le sujet ci dessous
http://ccp.scei-concours.fr/cpge/suj...delisation.pdf, c'est la partie III) C) )

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Ok, je me suis bêtement laissé perturbé par la notation s.

Vous avez dZ/ds = D.Z
et D = P-1 M P et Y=P.Z

dZ/ds = P-1 M P Z
dZ/ds = P-1 M Y
d(P Z)/ds = P P-1 M Y

dY/ds = M Y

Cordialement.

[invite7a1ed834]

Je vous remercie vraiment beaucoup pour votre réponse, j'ai compris !

[invite7a1ed834]

Bonjour,
Pour la question suivante, je dois montrer que les solutions de l'équation différentielle 5 : sont de la forme où est un vecteur colonne de trois lignes et que



Je ne vois pas comment me lancer. Avez-vous une idée ?

Je vous remercie par avance.

[stefjm]

Bonjour,
J'ai une idée...

Vous avez écrit votre système d'équation différentielle sous forme matricielle et vu que la matrice est diagonale, vous avez en fait 3 équations différentielles découplées, ie indépendante les unes des autres.
La solution pour chacune est donc évidente : en constante.e^(valeur propre.t)

Ne reste plus qu'à l'écrire proprement.

Cordialement.

[invite7a1ed834]

Bonjour,

Je n'y avais même pas pensé, j'essaie tout de suite.
Si la matrice n'était pas diagonale, en taupe on n'aurait pas les moyens de résoudre ou si ?

[stefjm]

Si vous savez diagonaliser une matrice, vous savez résoudre un système d'équation différentielle linéaire à coefficients constants.
C'est ce qu'on vous fait faire dans cet exercice Oon vous a donné la matrice diagonale, mais vous sauriez peut-être la trouver tout seul?).

[invite7a1ed834]

Je vous écris ma rédaction ci-dessous, j'essaie qu'elle soit précise type rédaction concours, corrigez moi s'il le faut.

On part de
La matrice D étant diagonale, on aboutit à un système de 3 équations différentielles linéaires du 1er ordre à coeffs constants

On a donc le système suivant :




En résolvant on obtient




Et je suppose que le doit provenir des constantes mais je ne vois pas comment les obtenir :/

[Tryss2]

Tu as oublié les conditions initiales dans ta résolution !

Les solutions de y' = ay sont les fonctions de la forme y(t) = C * exp(at) et pas juste la fonction exp(at)

[invite7a1ed834]

My bad ! Je te remercie pour ton aide !

Du coup j'obtiens :





Et ensuite pour la rédaction j'ai juste à dire que l'on peut écrire ce système sous la forme Z(s)=E2(s)*Z0 avec Z0 le vecteur colonne (K1,K2,K3)

Au passage K1,K2,K3 peuvent être des complexes ou seulement des réels ? (Je me pose la question parce que l'on travaille dans C)

[Tryss2]

Dans C ça marche aussi

[invite7a1ed834]

Je te remercie.

J'ai une question aussi par rapport à ce que stefjm m'a donné #5.

dZ/ds = P-1 M Y
d(P Z)/ds = P P-1 M Y

Pour passer d'une ligne à l'autre on peut rentrer P dans d(PZ)/ds car P ne dépend pas de s ?

[stefjm]

Oui. Linéarité de l'opération de dérivée.

[invite7a1ed834]

Je vous remercie.

Je dois ensuite faire de même avec dY(s)/ds = MY

Sachant D = P-1MP
Et P=RQ
J'obtiens D=Q-1R-1MRQ

Je dois exprimer Y sous la forme Y(s)=N(s)Y0 avec N(s) =RQE2(s)Q-1R-1


Mais je vois pas comment obtenir mon N pour résoudre l'équation différentielle de Y.
Sachant D = P-1MP
J'ai M = PDP-1

Et donc dY(s)/ds = PDP-1*Y

Seulement dans PDP-1 il n'y a que D qui est diagonale, comment se ramener à l'équation que je viens de résoudre avec dZ(s)/ds = DZ(s) ?

[invite7a1ed834]

Bonsoir,

Quelqu'un aurait une idée s'il vous plait ?

stefjm je suis sûr que vous l'avez vous avez toujours mes réponses.
Après cette question je ne vous embête plus ! (c'est la III.10 de http://ccp.scei-concours.fr/cpge/suj...delisation.pdf)

Bien à vous,

[Tryss2]

On multiplie l'égalité par , ce qui nous donne



Puis on fait le changement de variable

On a alors l'équation que l'on sait résoudre

C'est d'ailleurs plus rigolo si M est seulement diagonalisable

[invite7a1ed834]

Bonsoir,

Je vous remercie beaucoup Tryss !

[Tryss2]

Je voulais dire "C'est d'ailleurs plus rigolo si M est seulement trigonalisable", mais on aura corrigé