Intégrale sur le cercle unité de exp(1/z)

[invite2ed02f7e]

Bonjour,

Je cherche à calculer avec C le cercle unité par la méthode des résidus (et en sens trigonométrique).

Je m'en remets à vous car je n'ai aucun exemple dans mon cours, ... il n'y a que des intégrales réelles classiques qui permettent de choisir le contour, ce qui n'est pas le cas ici...

Surtout, il y a un problème en 0 n'est-ce pas? On ne doit pas découper le domaine pour "contourner", comme on le fait avec les pôles dans le cas d'une intégrale réelle qu'on passe en complexe?

J'ai trouvé un exemple ici, mais je comprends comment appliquer la formule de Cauchy ici (sachant que la fonction n'est pas holomorphe en 0). Faut-il utiliser la fonction z|-->f(z)/z ?


Veuillez m'excuser d'avance si les concepts ne sont pas très clairs dans mon esprit - mon cours n'étant pas axé sur les concepts et pas complet au niveau des démarches, démonstrations et exemples (école ingé, 30 matières) - mais je pense qu'un exemple complet m'aidera à comprendre !

Je vous remercie d'avance pour votre réponse !
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[theophrastusbombastus]

Bonjour,
il y a surement plusieurs méthodes pour résoudre ça, la 1er qui me viens en tête (avec le calcul des résidus) justement est de calculer le résidus de la fonction en la développant en série de Laurent :
apres la définition du résidus donne (pour la serie de Laurent développé en ).

Je vous laisse appliquer la formule des résidus (allé je vous laisse un indice vous allez trouver un truc du genre )

[invite2ed02f7e]

Ah merci pour l'éclaircissement. Donc oui le reste est tout simplement 1. Mais c'était surtout sur les hypothèses et l'application elle-même. En fait il suffit que le "trou" ne soit pas sur le contour lui-même (il suffit qui reste fermé).
Il n'y a pas aurait pas à couper l'intégrale en "contournant" 0 je suppose donc. (En même temps on le fait pour les intégrales réelles pour se retrouver sur l'axe des réels peut-être, or ici l'intégrale est complexe).

[theophrastusbombastus]

Apres niveau analyse complexe je ne suis qu'un étudiant passionné sans réel formation, je n'essayerai donc pas trop de vous apprendre n'importe quoi ! Mais quand on passe en analyse complexe la notion de singularité n'est plus aborde de la même façon, l’intégrale d'une fonction holomorphe a "l’extérieur" de ces singularités vaut 0 (théorème intégrale de Cauchy). Ca devient intéressant quand on intègre "avec" ces singularités (formule intégrale de Cauchy et a fortiori le théorème des résidus).

Là, pour le coup de votre exemple, j'ai eu un doute parce que en 0 pour votre fonction nous avons une singularité essentielle. Donc pour les hypothèses la fonction est holomorphe partout sauf en 0, votre contour contient la singularité... en gros ça doit suffir ! Sur ce je laisse les explications a des personnes plus experte, en espérant vous avoir aidé !

[A voir en vidéo sur Futura]